Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.

Единственное, что необходимо все время держать в голове - подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Метод 1. Деление подкоренных выражений

Алгоритм действий:

Записать дробь

Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.

Пример 1

144 ÷ 36 , это выражение следует переписать так: 144 36

Использовать один знак корня

В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.

Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.

Пример 2

144 36 . Это выражение следует записать так: 144 36

Разделить подкоренные выражения

Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.

Пример 3

144 36 = 4 , запишем это выражение так: 144 36 = 4

Упростить подкоренное выражение (если необходимо)

Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.

Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.

Пример 4

4 - полный квадрат, потому что 2 × 2 = 4 . Из этого следует:

4 = 2 × 2 = 2 . Поэтому 144 36 = 4 = 2 .

Метод 2. Разложение подкоренного выражения на множители

Алгоритм действий:

Записать дробь

Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители.

Пример 5

8 ÷ 36 , переписываем так 8 36

Разложить на множители каждое из подкоренных выражений

Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.

Пример 6

8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6

Упростить числитель и знаменатель дроби

Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.

Пример 7

2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2 , из этого следует: 8 36 = 2 2 6

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)

В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе - признак плохого тона, т.е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него.

Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться.

Пример 8

В выражении 6 2 3 необходимо умножить числитель и знаменатель на 3 , чтобы избавиться от него в знаменателе:

6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

Упростить полученное выражение (если необходимо)

Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить. Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.

Пример 9

2 6 упрощается до 1 3 ; таким образом 2 2 6 упрощается до 1 2 3 = 2 3

Метод 3. Деление квадратных корней с множителями

Алгоритм действий:

Упростить множители

Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня. Для упрощения множителей понадобится разделить или сократить их. Подкоренные выражения не трогайте!

Пример 10

4 32 6 16 . Сначала сокращаем 4 6: делим на 2 и числитель, и знаменатель: 4 6 = 2 3 .

Упростить квадратные корни

Если числитель нацело делится на знаменатель, то делите. Если нет, то упрощайте подкоренные выражения, как и любые другие.

Пример 11

32 делится нацело на 16 , поэтому: 32 16 = 2

Умножить упрощенные множители на упрощенные корни

Помним про правило: не оставлять в знаменателе корни. Поэтому просто перемножаем числитель и знаменатель на этот корень.

Пример 12

2 3 × 2 = 2 2 3

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня в знаменателе)

Пример 13

4 3 2 7 . Следует умножить числитель и знаменатель на 7 , чтобы избавиться от корня в знаменателе.

4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

Метод 4. Деление на двучлен с квадратным корнем

Алгоритм действий:

Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе

Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем.

Пример 14

1 5 + 2 - в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена.

Найти выражение, сопряженное биному

Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы.

Пример 15

5 + 2 и 5 - 2 - сопряженные биномы.

Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе

Такая опция поможет избавиться от корня в знаменателе, поскольку произведение сопряженных двучленов равняется разности квадратов каждого члена биномов: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2

Пример 16

1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .

Из этого следует: 1 5 + 2 = 5 - 2 23 .

Советы:

1. Если вы работаете с квадратными корнями смешанных чисел, то преобразовывайте их в неправильную дробь.
2. Отличие сложения и вычитания от деления - подкоренные выражения в случае деления не рекомендуется упрощать (за счет полных квадратов).
3. Никогда (!) не оставляйте корень в знаменателе.
4. Никаких десятичных дробей или смешанных перед корнем - необходимо преобразовать их в обыкновенную дробь, а потом упростить.
5. В знаменателе сумма или разность двух одночленов? Умножьте такой бином на сопряженный ему двучлен и избавьтесь от корня в знаменателе.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Формулы корней. Свойства квадратных корней.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень . Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней , каковы свойства корней , и что со всем этим можно делать.

Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями - это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да...

Начнём с самой простой. Вот она:

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.