Десятичная дробь состоит из двух частей, которые разделены запятыми. Первая часть - это целая единица, вторая часть - это десятки (если число после запятой одно), сотни (два числа после запятой, как два нуля в ста), тысячные итд. Посмотрим на примеры десятичной дроби: 0, 2; 7, 54; 235,448; 5,1; 6,32; 0,5. Всё это - десятичные дроби. Как же перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Пример первый

У нас есть дробь, к примеру, 0,5. Как уже выше писалось, она состоит из двух частей. Первое число 0, показывает, сколько целых единиц у дроби. В нашем случае их нет. Второе число показывает десятки. Дробь даже читается ноль целых пять десятых. Десятичное число перевести в дробь теперь не составит труда, пишем 5/10. Если видите, что у цифр есть общий делитель, можете сократить дробь. У нас это число 5, поделив обе части дроби на 5, получаем - 1/2.

Пример второй

Возьмем более сложную дробь - 2,25. Читается она так - две целых и двадцать пять сотых. Обратите внимание - сотых, так как чисел после запятой две. Теперь можно перевести в обыкновенную дробь. Записываем - 2 25/100. Целая часть - 2, дробная 25/100. Как и в первом примере, эту часть можно сократить. Общим делителем для цифр 25 и 100 является число 25. Заметьте, что мы всегда подбираем наибольший общий делитель. Разделив обе части дроби на НОД, получили 1/4. Итак, 2, 25 это 2 1/4.

Пример третий

И для закрепления материала возьмем десятичную дробь 4,112 - четыре целых и сто двенадцать тысячных. Почему тысячных, думаю, ясно. Записываем теперь 4 112/1000. По алгоритму находим НОД чисел 112 и 1000. В нашем случае - это число 6. Получаем 4 14/125.

Вывод

1. Разбиваем дробь на целую и дробную части.
2. Смотрим, сколько цифр после запятой. Если одна - это десятки, две - сотни, три -тысячные итд.
3. Записываем дробь в обыкновенном виде.
4. Сокращаем числитель и знаменатель дроби.
5. Записываем полученную дробь.
6. Выполняем проверку, делим верхнюю часть дроби на нижнюю. Если есть целая часть, прибавляем к полученной десятичной дроби. Получился исходный вариант - замечательно, значит, вы все сделали правильно.

На примерах я показала, как можно перевести десятичную дробь в обыкновенную. Как видите, сделать это очень легко и просто.

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

Допустим, мы хотим преобразовать обыкновенную дробь 11/4 в десятичную. Проще всего сделать это так:

						2∙2∙5∙5

Это удалось нам потому, что в данном случае разложение знаменателя на простые множители состоит только из двоек. Мы дополнили это разложение еще двумя пятерками, воспользовались тем, что 10 = 2∙5, и получили десятичную дробь. Подобная процедура возможна, очевидно, тогда и только тогда, когда разложение знаменателя на простые множители не содержит ничего, кроме двоек и пятерок. Если в разложении знаменателя присутствует любое другое простое число, то такую дробь в десятичную преобразовать нельзя. Тем не менее, мы попробуем это сделать, но только другим способом, с которым мы познакомимся на примере всё той же дроби 11/4. Давайте поделим 11 на 4 «уголком»:

В строке ответа мы получили целую часть ( 2 ), и еще у нас есть остаток ( 3 ). Раньше мы деление на этом заканчивали, но теперь мы знаем, что к делимому ( 11 ) можно приписать справа запятую и несколько нулей, что мы теперь мысленно и сделаем. Следом после запятой идет разряд десятых. Ноль, который стоит у делимого в этом разряде, припишем к полученному остатку ( 3 ):

Теперь деление можно продолжать как ни в чем не бывало. Надо только не забыть поставить в строке ответа запятую после целой части:

Теперь приписываем к остатку ( 2 ) ноль, который стоит у делимого в разряде сотых и доводим деление до конца:

В результате получаем, как и раньше,

Попробуем теперь точно таким же способом вычислить, чему равна дробь 27/11:

Мы получили в строке ответа число 2,45, а в строке остатка - число 5 . Но такой остаток нам уже раньше встречался. Поэтому мы уже сразу можем сказать, что, если мы продолжим наше деление «уголком», то следующей цифрой в строке ответа будет 4, затем пойдет цифра 5, потом - снова 4 и снова 5, и так далее, до бесконечности:

27 / 11 = 2,454545454545...

Мы получили так называемую периодическую десятичную дробь с периодом 45. Для таких дробей применяется более компактная запись, в которой период выписывается только один раз, но при этом он заключается в круглые скобки:

2,454545454545... = 2,(45).

Вообще говоря, если делить «уголком» одно натуральное число на другое, записывая ответ в виде десятичной дроби, то возможно только два исхода: (1) либо рано или поздно в строке остатка мы получим ноль, (2) либо там окажется такой остаток, который уже нам раньше встречался (набор возможных остатков ограничен, поскольку все они заведомо меньше делителя). В первом случае результатом деления является конечная десятичная дробь, во втором случае - периодическая.

Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную

Пусть нам дана положительная периодическая десятичная дробь с нулевой целой частью, например:

a = 0,2(45).

Как преобразовать эту дробь обратно в обыкновенную?

Умножим ее на число 10 k , где k - это число цифр, стоящих между запятой и открывающей круглой скобкой, обозначающей начало периода. В данном случае k = 1 и 10 k = 10:

a ∙ 10 k = 2,(45).

Полученный результат умножим на 10 n , где n - «длина» периода, то есть число цифр, заключенных между круглыми скобками. В данном случае n = 2 и 10 n = 100:

a ∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).

Теперь вычислим разность

a ∙ 10 k ∙ 10 n − a ∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Поскольку дробные части у уменьшаемого и вычитаемого одинаковы, то у разности дробная часть равна нулю, и мы приходим к простому уравнению относительно a :

a ∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

Решается это уравнение с помощью следующих преобразований:

a ∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

a ∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

	245 − 2
	10 ∙ 99

Мы специально пока не доводим вычисления до конца, чтобы было наглядно видно, как можно сразу выписать этот результат, опуская промежуточные рассуждения. Уменьшаемое в числителе ( 245 ) - это дробная часть числа

a = 0,2(45)

если в ее записи стереть скобки. Вычитаемое в числителе ( 2 ) - это непериодическая часть числа а , располагающаяся между запятой и открывающей скобкой. Первый сомножитель в знаменателе ( 10 ) - это единица, к которой приписано столько нулей, сколько цифр в непериодической части (k ). Второй сомножитель в знаменателе ( 99 ) - это столько девяток, сколько цифр содержит период (n ).

Теперь наши вычисления можно довести до конца:

Здесь в числителе стоит период, а в знаменателе - столько девяток, сколько цифр в периоде. После сокращения на 9 полученная дробь оказывается равной

Подобным же образом,

Если нам нужно разделить 497 на 4, то при делении мы увидим, что 497 не делится на 4 нацело, т.е. остаётся остаток от деления. В таких случаях говорят, что выполнено деление с остатком , и решение записывают в таком виде:
497: 4 = 124 (1 остаток).

Компоненты деления в левой части равенства называют так же, как при делении без остатка: 497 - делимое , 4 - делитель . Результат деления при делении с остатком называют неполным частным . В нашем случае это число 124. И, наконец, последний компонент, которого нет в обычном делении, - остаток . В тех случаях, когда остатка нет, говорят, что одно число разделилось на другое без остатка, или нацело . Считают, что при таком делении остаток равен нулю. В нашем случае остаток равен 1.

Остаток всегда меньше делителя.

Проверку при делении можно сделать умножением. Если, например, имеется равенство 64: 32 = 2, то проверку можно сделать так: 64 = 32 * 2.

Часто в случаях, когда выполняется деление с остатком, удобно использовать равенство
а = b * n + r ,
где а - делимое, b - делитель, n - неполное частное, r - остаток.

Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби.

Числитель дроби - это делимое, а знаменатель - делитель.

Поскольку числитель дроби - это делимое, а знаменатель - делитель, считают, что черта дроби означает действие деление . Иногда бывает удобно записывать деление в виде дроби, не используя знак «:».

Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби \(\frac{m}{n} \), где числитель m - делимое, а знаменатель п - делитель:
\(m:n = \frac{m}{n} \)

Верны следующие правила:

Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо единицу разделить на n равных частей (долей) и взять m таких частей.

Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо число m разделить на число n.

Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.

Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.

Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \)

Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a: m}{b: m} \)
Это свойство называют основным свойством дроби .

Два последних преобразования называют сокращением дроби .

Если дроби нужно представить в виде дробей с одним и тем же знаменателем, то такое действие называют приведением дробей к общему знаменателю .

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

Вы уже знаете, что дробь можно получить, если разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Например, дробь \(\frac{3}{4} \) означает три четвёртых доли единицы. Во многих задачах предыдущего параграфа обыкновенные дроби использовались для обозначения части целого. Здравый смысл подсказывает, что часть всегда должна быть меньше целого, но как тогда быть с такими дробями, как, например, \(\frac{5}{5} \) или \(\frac{8}{5} \)? Ясно, что это уже не часть единицы. Наверное, поэтому такие дроби, у которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильными дробями . Остальные дроби, т. е. дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями .

Как вы знаете, любую обыкновенную дробь, и правильную, и неправильную, можно рассматривать как результат деления числителя на знаменатель. Поэтому в математике, в отличие от обычного языка, термин «неправильная дробь» означает не то, что мы что-то сделали неправильно, а только то, что у этой дроби числитель больше знаменателя или равен ему.

Если число состоит из целой части и дроби, то такие дроби называются смешанными .

Например:
\(5:3 = 1\frac{2}{3} \) : 1 - целая часть, а \(\frac{2}{3} \) - дробная часть.

Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её числитель разделить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a:n}{b} \)

Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) не делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её знаменатель умножить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a}{bn} \)

Заметим, что второе правило справедливо и в том случае, когда числитель делится на n. Поэтому мы можем его применять тогда, когда трудно с первого взгляда определить, делится числитель дроби на n или нет.

Действия с дробями. Сложение дробей.

С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем, например, сумму \(\frac{2}{7} \) и \(\frac{3}{7} \). Легко понять, что \(\frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:
\(\large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)

Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например:
\(\large \frac{2}{3}+\frac{4}{5} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{4\cdot 3}{5\cdot 3} = \frac{10}{15}+\frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15} \)

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения.

Сложение смешанных дробей

Такие записи, как \(2\frac{2}{3} \), называют смешанными дробями . При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а число \(\frac{2}{3} \) - ее дробной частью . Запись \(2\frac{2}{3} \) читают так: «две и две трети».

При делении числа 8 на число 3 можно получить два ответа: \(\frac{8}{3} \) и \(2\frac{2}{3} \). Они выражают одно и то же дробное число, т.е \(\frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \)

Таким образом, неправильная дробь \(\frac{8}{3} \) представлена в виде смешанной дроби \(2\frac{2}{3} \). В таких случаях говорят, что из неправильной дроби выделили целую часть .

Вычитание дробей (дробных чисел)

Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое - это значит найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например:
\(\frac{8}{9}-\frac{1}{9} = \frac{7}{9} \) так как \(\frac{7}{9}+\frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей:
чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.

С помощью букв это правило записывается так:
\(\large \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \)

Умножение дробей

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе - знаменателем.

С помощью букв правило умножения дробей можно записать так:
\(\large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \)

Пользуясь сформулированным правилом, молено умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать смешанные дроби. Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь - в виде неправильной дроби.

Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби.

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.

Деление дробей

Возьмем дробь \(\frac{2}{3} \) и «перевернем» ее, поменяв местами числитель и знаменатель. Получим дробь \(\frac{3}{2} \). Эту дробь называют обратной дроби \(\frac{2}{3} \).

Если мы теперь «перевернем» дробь \(\frac{3}{2} \), то получим исходную дробь \(\frac{2}{3} \). Поэтому такие дроби, как \(\frac{2}{3} \) и \(\frac{3}{2} \) называют взаимно обратными .

Взаимно обратными являются, например, дроби \(\frac{6}{5} \) и \(\frac{5}{6} \), \(\frac{7}{18} \) и \(\frac{18}{7} \).

С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать так: \(\frac{a}{b} \) и \(\frac{b}{a} \)

Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1 . Например: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} =1 \)

Используя взаимно обратные дроби, можно деление дробей свести к умножению.

Правило деления дроби на дробь:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Используя буквы, правило деления дробей можно записать так:
\(\large \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \)

Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью, то, для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей, его надо предварительно представить в виде неправильной дроби.

Достаточное количество людей задаются вопросами о том, как перевести обыкновенную дробь в дробь десятичную. Способов существует несколько. Выбор конкретного способа зависит от вида дроби, которую нужно перевести в другой вид, а точнее, от числа в её знаменателе. Однако необходимо для надёжности указать, что обыкновенная дробь – это дробь, которая записывается с числителем и знаменателем, например, 1/2. Чаще черту между числителем и знаменателем проводят горизонтально, а не наклонно. Десятичная дробь пишется обыкновенным числом с запятой: например, 1,25; 0,35 и т.д.

Итак, для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную без калькулятора необходимо:

Обратить внимание на знаменатель обыкновенной дроби. Если знаменатель можно легко множить до 10 на одинаковое с числителем число, то следует воспользоваться именно этим способом, как наиболее простым. К примеру, обыкновенная дробь 1/2 легко умножается в числителе и знаменателе на 5, в результате получается число 5/10, которое уже можно записать дробью десятичной: 0,5. Данное правило основано на том, что десятичная дробь всегда имеет в знаменателе круглое число: 10, 100, 1000 и подобные. Следовательно, если помножить числитель и знаменатель дроби, то необходимо добиваться получения в знаменателе именно такого числа в результате умножения независимо от того, что получается в числителе.

Существуют обыкновенные дроби, подсчёт которых после умножения представляет определённые сложности. Например, достаточно трудно определить, на сколько следует помножить дробь 5/16, чтобы получить в знаменателе одно из приведённых выше чисел. В этом случае следует воспользоваться обычным делением, которое производится столбиком. В ответе должна получиться десятичная дробь, которая и ознаменует окончание операции перевода. В вышеприведенном примере получается число, равное 0,3125. Если вычисления столбиком представляют затруднения, то без помощи калькулятора уже не обойтись.

Наконец, бывают обыкновенные дроби, которые в десятичные не переводятся. Например, при переводе обыкновенной дроби 4/3 получается результат 1,33333, где тройка повторяется до бесконечности. Калькулятор также не избавит от повторяющейся тройки. Таких дробей существует несколько, их необходимо просто знать. Выходом из приведённой ситуации может быть округление, если условия решаемого примера или задачи позволяют округлять. Если же условия этого не позволяют, а ответ необходимо записать именно в виде десятичной дроби, значит, пример или задача решены неправильно, и следует вернуться на несколько этапов назад, чтобы обнаружить ошибку.

Таким образом, перевести обыкновенную дробь в десятичную довольно таки несложно, с это задачей нетрудно справиться без помощи калькулятора. Ещё проще выглядит перевод десятичных дробей в обыкновенные, выполняя действия обратные описанным в способе 1.

Видео: 6 класс. Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь.

Десятичные числа, такие как 0,2; 1,05; 3,017 и т.п. как слышатся, так и пишутся. Ноль целых две десятых, получаем дробь . Одна целая пять сотых, получаем дробь . Три целых семнадцать тысячных, получаем дробь . Цифры до запятой в десятичном числе - это целая часть дроби. Цифра после запятой - числитель будущей дроби. Если после запятой однозначное число - в знаменателе будет 10, если двухзначное - 100, трехзначное - 1000 и т.д. Некоторые полученные дроби можно сократить . В наших примерах

Преобразование дроби в десятичное число

Это обратное предыдущему преобразованию. Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, или

Если дробь, например . В этом случае необходимо воспользоваться основным свойством дроби и преобразовать знаменатель до 10 или 100, или 1000 ... В нашем примере, если домножить числитель и знаменатель на 4, получим дробь , которую возможно записать в виде десятичного числа 0,12.

Некоторые дроби проще разделить, чем преобразовать знаменатель. Например,

Некоторые дроби невозможно преобразовать в десятичные числа!
Например,

Преобразование смешанной дроби в неправильную

Смешанную дробь, например , легко преобразовать в неправильную. Для этого необходимо целую часть умножить на знаменатель (низ) и сложить с числителем (верх), знаменатель (низ) оставить без изменения. То есть

При преобразовании смешанной дроби в неправильную, можно вспомнить, что Можно использовать сложение дробей

Преобразование неправильной дроби в смешанную (выделение целой части)

Неправильную дробь можно перевести в смешанную, выделив целую часть. Рассмотрим пример, . Определяем, сколько целых раз "3" вмещается в "23". Или 23 делим на 3 на калькуляторе, целое число до запятой - искомое. Это "7". Далее определяем числитель уже будущей дроби: полученную "7" умножаем на знаменатель "3" и из числителя "23" вычитаем полученное. Как бы находим то лишнее, что остается от числителя "23", если изъять максимальное количество "3". Знаменатель оставляем без изменения. Все сделано, записываем результат