Рассмотрим примеры деления десятичных дробей в этом свете.

Пример.

Выполните деление десятичной дроби 1,2 на десятичную дробь 0,48 .

Решение.

Ответ:

1,2:0,48=2,5 .

Пример.

Разделите периодическую десятичную дробь 0,(504) на десятичную дробь 0,56 .

Решение.

Переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную : . Также переведем конечную десятичную дробь 0,56 в обыкновенную, имеем 0,56=56/100 . Теперь мы можем перейти от деления исходных десятичных дробей к делению обыкновенных дробей и закончить вычисления: .

Переведем полученную обыкновенную дробь в десятичную дробь, выполнив деление числителя на знаменатель столбиком:

Ответ:

0,(504):0,56=0,(900) .

Принцип деления бесконечных непериодических десятичных дробей отличается от принципа деления конечных и периодических десятичных дробей, так как непериодические десятичные дроби не могут быть переведены в обыкновенные дроби. Деление бесконечных непериодических десятичных дробей сводится к делению конечных десятичных дробей, для чего проводится округление чисел до некоторого разряда. Причем, если одним из чисел, с которыми проводится деление, является конечная или периодическая десятичная дробь, то она тоже округляются до того же разряда, что и непериодическая десятичная дробь.

Пример.

Разделите бесконечную непериодическую десятичную дробь 0,779… на конечную десятичную дробь 1,5602 .

Решение.

Сначала нужно округлить десятичные дроби, чтобы от деления бесконечной непериодической десятичной дроби перейти к делению конечных десятичных дробей. Мы можем провести округление до сотых: 0,779…≈0,78 и 1,5602≈1,56 . Таким образом, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100·100/156= 78/156=1/2=0,5 .

Ответ:

0,779…:1,5602≈0,5 .

Деление натурального числа на десятичную дробь и наоборот

Суть подхода к делению натурального числа на десятичную дробь и к делению десятичной дроби на натуральное число ничем не отличается от сути деления десятичных дробей. То есть, конечные и периодические дроби заменяются обыкновенными дробями, а бесконечные непериодические дроби округляются.

Для иллюстрации рассмотрим пример деления десятичной дроби на натуральное число.

Пример.

Выполните деление десятичной дроби 25,5 на натуральное число 45 .

Решение.

Заменив десятичную дробь 25,5 обыкновенной дробью 255/10=51/2 , деление сводится к делению обыкновенной дроби на натуральное число : . Полученная дробь в десятичной записи имеет вид 0,5(6) .

Ответ:

25,5:45=0,5(6) .

Деление десятичной дроби на натуральное число столбиком

Деление конечных десятичных дробей на натуральные числа удобно проводить столбиком по аналогии с делением столбиком натуральных чисел . Приведем правило деления.

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число столбиком , надо:

• дописать справа в делимой десятичной дроби несколько цифр 0 , (в процессе деления при необходимости можно дописать еще любое количество нулей, но эти нули могут и не понадобиться);
• выполнить деление столбиком десятичной дроби на натуральное число по всем правилам деления столбиком натуральных чисел, но когда закончится деление целой части десятичной дроби, то в частном нужно поставить запятую и продолжить деление.

Сразу скажем, что в результате деления конечной десятичной дроби на натуральное число может получиться или конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая десятичная дробь. Действительно, после того, как закончится деление всех отличных от 0 десятичных знаков делимой дроби, может получиться либо остаток 0 , и мы получим конечную десятичную дробь, либо остатки начнут периодически повторяться, и мы получим периодическую десятичную дробь.

Разберемся со всеми тонкостями деления десятичных дробей на натуральные числа столбиком при решении примеров.

Пример.

Разделите десятичную дробь 65,14 на 4 .

Решение.

Выполним деление десятичной дроби на натуральное число столбиком. Допишем пару нулей справа в записи дроби 65,14 , при этом получим равную ей десятичную дробь 65,1400 (смотрите равные и неравные десятичные дроби). Теперь можно приступать к делению столбиком целой части десятичной дроби 65,1400 на натуральное число 4 :

На этом деление целой части десятичной дроби закончено. Здесь в частном нужно поставить десятичную запятую и продолжить деление:

Мы пришли к остатку 0 , на этом этапе деление столбиком заканчивается. В итоге имеем 65,14:4=16,285 .

Ответ:

65,14:4=16,285 .

Пример.

Выполните деление 164,5 на 27 .

Решение.

Проведем деление десятичной дроби на натуральное число столбиком. После деления целой части получаем следующую картину:

Теперь ставим в частном запятую и продолжаем деление столбиком:

Сейчас хорошо видно, что начали повторяться остатки 25 , 7 и 16 , при этом в частном повторяются цифры 9 , 2 и 5 . Таким образом, деление десятичной дроби 164,5 на 27 приводит нас к периодической десятичной дроби 6,0(925) .

Ответ:

164,5:27=6,0(925) .

Деление десятичных дробей столбиком

К делению десятичной дроби на натуральное число столбиком можно свести деление десятичной дроби на десятичную дробь. Для этого делимое и делитель нужно умножить на такое число 10 , или 100 , или 1 000 , и т.д., чтобы делитель стал натуральным числом, после чего выполнить деление на натуральное число столбиком. Это мы можем делать в силу свойств деления и умножения, так как a:b=(a·10):(b·10) , a:b=(a·100):(b·100) и так далее.

Иными словами, чтобы разделить конечную десятичную дробь на конечную десятичную дробь , нужно:

• в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе, если при этом в делимом не хватает знаков для переноса запятой, то нужно дописать необходимое количество нулей справа;
• после этого провести деление столбиком десятичной дроби на натуральное число.

Рассмотрим при решении примера применение этого правила деления на десятичную дробь.

Пример.

Выполните деление столбиком 7,287 на 2,1 .

Решение.

Перенесем запятую в данных десятичных дробях на одну цифру вправо, это нам позволит от деления десятичной дроби 7,287 на десятичную дробь 2,1 перейти к делению десятичной дроби 72,87 на натуральное число 21 . Выполним деление столбиком:

Ответ:

7,287:2,1=3,47 .

Пример.

Выполните деление десятичной дроби 16,3 на десятичную дробь 0,021 .

Решение.

Перенесем вправо на 3 знака запятую в делимом и делителе. Очевидно, в делителе не хватает цифр для переноса запятой, поэтому допишем необходимое количество нулей справа. Теперь выполним деление столбиком дроби 16300,0 на натуральное число 21 :

С этого момента начинают повторяться остатки 4 , 19 , 1 , 10 , 16 и 13 , а значит, будут повторяться и цифры 1 , 9 , 0 , 4 , 7 и 6 в частном. В результате мы получаем периодическую десятичную дробь 776,(190476) .

Ответ:

16,3:0,021=776,(190476) .

Заметим, что озвученное правило позволяет делить столбиком натуральное число на конечную десятичную дробь.

Пример.

Разделите натуральное число 3 на десятичную дробь 5,4 .

Решение.

После переноса запятой на 1 цифру вправо, приходим к делению числа 30,0 на 54 . Выполним деление столбиком:
.

Это правило можно применять и при делении бесконечных десятичных дробей на 10, 100, … . К примеру, 3,(56):1 000=0,003(56) и 593,374…:100=5,93374… .

Деление десятичных дробей на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д.

Так как 0,1=1/10 , 0,01=1/100 и т.д., то из правила деления на обыкновенную дробь следует, что разделить десятичную дробь на 0,1 , 0,01 , 0,001 и т.д. это все равно, что умножить данную десятичную дробь на 10 , 100 , 1 000 и т.д. соответственно.

Другими словами, чтобы разделить десятичную дробь на 0,1, 0,01, … нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, … цифр, при этом если цифр в записи десятичной дроби недостаточно для переноса запятой, то справа нужно дописать необходимое количество нулей.

Например, 5,739:0,1=57,39 и 0,21:0,00001=21 000 .

Это же правило можно применять при делении бесконечных десятичных дробей на 0,1 , 0,01 , 0,001 и т.д. При этом следует быть очень внимательным с делением периодических дробей, чтобы не ошибиться с периодом дроби, которая получается в результате деления. К примеру, 7,5(716):0,01=757,(167) , так как после переноса запятой в записи десятичной дроби 7,5716716716… на два знака вправо, имеем запись 757,167167… . С бесконечными непериодическими десятичными дробями все проще: 394,38283…:0,001=394382,83… .

Деление обыкновенной дроби или смешанного числа на десятичную дробь и наоборот

Деление обыкновенной дроби или смешанного числа на конечную или периодическую десятичную дробь, а также деление конечной или периодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число сводится к делению обыкновенных дробей. Для этого десятичные дроби заменяются соответствующими обыкновенными дробями, а смешанное число представляется в виде неправильной дроби.

При делении бесконечной непериодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число и наоборот следует перейти к делению десятичных дробей, заменив обыкновенную дробь или смешанное число соответствующей десятичной дробью.

Список литературы.

• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Деление на десятичную дробь сводится к делению на натуральное число.

Правило деления числа на десятичную дробь

Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо и в делимом, и в делителе запятую перенести на столько цифр вправо, сколько их в делителе после запятой. После этого выполнить деление на натуральное число.

Примеры.

Выполнить деление на десятичную дробь:

Чтобы разделить на десятичную дробь, нужно и в делимом, и в делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе, то есть, на один знак. Получаем: 35,1: 1,8 =351: 18. Теперь выполняем деление уголком. В итоге получаем: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Чтобы выполнить деление десятичных дробей, и в делимом, и в делителе переносим запятую вправо на один знак: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Теперь выполняемна натуральное число. Результат: 14,76: 3,6 = 4,1.

Чтобы выполнить деление на десятичную дробь натурального числа, надо и в делимом, и в делителе перенести на столько знаков вправо, сколько их в делителе после запятой. Поскольку в делителе в этом случае запятая не пишется, недостающее количество знаков заполняем нулями: 70: 1,75 = 7000: 175. Делим уголком полученные натуральные числа: 70: 1,75 = 7000: 175 =40.

4) 0,1218: 0,058

Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую, переносим запятую вправо и в делимом, и в делителе на столько знаков, сколько их в делителе после запятой, то есть на три знака. Таким образом, 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. Деление на десятичную дробь заменили делением на натуральное число. Делим уголком. Имеем: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8

На прошлом уроке мы научились складывать и вычитать десятичные дроби (см. урок «Сложение и вычитание десятичных дробей »). Заодно оценили, насколько упрощаются вычисления по сравнению с обычными «двухэтажными» дробями.

К сожалению, с умножением и делением десятичных дробей подобного эффекта не возникает. В некоторых случаях десятичная запись числа даже усложняет эти операции.

Для начала введем новое определение. Мы будем встречаться с ним довольно часто, и не только на этом уроке.

Значащая часть числа - это все, что находится между первой и последней ненулевой цифрой, включая концы. Речь идет только о цифрах, десятичная точка не учитывается.

Цифры, входящие в значащую часть числа, называются значащими цифрами. Они могут повторяться и даже быть равными нулю.

Например, рассмотрим несколько десятичных дробей и выпишем соответствующие им значащие части:

1. 91,25 → 9125 (значащие цифры: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (значащие цифры: 8; 2; 4; 1);
3. 15,0075 → 150075 (значащие цифры: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (значащие цифры: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (значащая цифра всего одна: 3).

Обратите внимание: нули, стоящие внутри значащей части числа, никуда не деваются. Мы уже сталкивались с чем-то подобным, когда учились переводить десятичные дроби в обычные (см. урок «Десятичные дроби »).

Этот момент настолько важен, а ошибки здесь допускают так часто, что в ближайшее время я опубликую тест на эту тему. Обязательно потренируйтесь! А мы, вооружившись понятием значащей части, приступим, собственно, к теме урока.

Умножение десятичных дробей

Операция умножения состоит из трех последовательных шагов:

1. Для каждой дроби выписать значащую часть. Получатся два обычных целых числа - без всяких знаменателей и десятичных точек;
2. Умножить эти числа любым удобным способом. Напрямую, если числа невелики, или столбиком. Получим значащую часть искомой дроби;
3. Выяснить, куда и на сколько разрядов сдвигается десятичная точка в исходных дробях для получения соответствующей значащей части. Выполнить обратные сдвиги для значащей части, полученной на предыдущем шаге.

Еще раз напомню, что нули, стоящие по бокам от значащей части, никогда не учитываются. Игнорирование этого правила приводит к ошибкам.

1. 0,28 · 12,5;
2. 6,3 · 1,08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 · 1600,5;
5. 5,25 · 10 000.

Работаем с первым выражением: 0,28 · 12,5.

1. Выпишем значащие части для чисел из этого выражения: 28 и 125;
2. Их произведение: 28 · 125 = 3500;
3. В первом множителе десятичная точка сдвинута на 2 цифры вправо (0,28 → 28), а во второй - еще на 1 цифру. Итого нужен сдвиг влево на три цифры: 3500 → 3,500 = 3,5.

Теперь разберемся с выражением 6,3 · 1,08.

1. Выпишем значащие части: 63 и 108;
2. Их произведение: 63 · 108 = 6804;
3. Снова два сдвига вправо: на 2 и 1 цифру соответственно. Всего - снова 3 цифры вправо, поэтому обратный сдвиг будет на 3 цифры влево: 6804 → 6,804. В этот раз нулей на конце нет.

Добрались до третьего выражения: 132,5 · 0,0034.

1. Значащие части: 1325 и 34;
2. Их произведение: 1325 · 34 = 45 050;
3. В первой дроби десятичная точка уходит вправо на 1 цифру, а во второй - на целых 4. Итого: 5 вправо. Выполняем сдвиг на 5 влево: 45 050 → ,45050 = 0,4505. В конце убрали ноль, а спереди - дописали, чтобы не оставлять «голую» десятичную точку.

Следующее выражение: 0,0108 · 1600,5.

1. Пишем значащие части: 108 и 16 005;
2. Умножаем их: 108 · 16 005 = 1 728 540;
3. Считаем цифры после десятичной точки: в первом числе их 4, во втором - 1. Всего - снова 5. Имеем: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. В конце убрали «лишний» ноль.

Наконец, последнее выражение: 5,25 · 10 000.

1. Значащие части: 525 и 1;
2. Умножаем их: 525 · 1 = 525;
3. В первой дроби выполнен сдвиг на 2 цифры вправо, а во второй - на 4 цифры влево (10 000 → 1,0000 = 1). Итого 4 − 2 = 2 цифры влево. Выполняем обратный сдвиг на 2 цифры вправо: 525, → 52 500 (пришлось дописать нули).

Обратите внимание на последний пример: поскольку десятичная точка перемещается в разных направлениях, суммарный сдвиг находится через разность. Это очень важный момент! Вот еще пример:

Рассмотрим числа 1,5 и 12 500. Имеем: 1,5 → 15 (сдвиг на 1 вправо); 12 500 → 125 (сдвиг на 2 влево). Мы «шагаем» на 1 разряд вправо, а затем - на 2 влево. В итоге, мы шагнули на 2 − 1 = 1 разряд влево.

Деление десятичных дробей

Деление - это, пожалуй, самая сложная операция. Конечно, здесь можно действовать по аналогии с умножением: делить значащие части, а затем «двигать» десятичную точку. Но в этом случае возникает много тонкостей, которые сводят на нет потенциальную экономию.

Поэтому давайте рассмотрим универсальный алгоритм, который чуть-чуть длиннее, но намного надежнее:

1. Перевести все десятичные дроби в обычные. Если немного потренироваться, на этот шаг у вас будут уходить считанные секунды;
2. Разделить полученные дроби классическим способом. Другими словами, умножить первую дробь на «перевернутую» вторую (см. урок «Умножение и деление числовых дробей »);
3. Если возможно, результат снова представить в виде десятичной дроби. Этот шаг тоже выполняется быстро, поскольку зачастую в знаменателе уже стоит степень десятки.

Задача. Найдите значение выражения:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Считаем первое выражение. Для начала переведем оби дроби в десятичные:

Аналогично поступим со вторым выражением. Числитель первой дроби снова разложится на множители:

В третьем и четвертом примерах есть важный момент: после избавления от десятичной записи возникают сократимые дроби. Однако мы не будем выполнять это сокращение.

Последний пример интересен тем, что в числителе второй дроби стоит простое число. Здесь просто нечего разлагать на множители, поэтому считаем «напролом»:

Иногда в результате деления получается целое число (это я про последний пример). В таком случае третий шаг вообще не выполняется.

Кроме того, при делении часто возникают «некрасивые» дроби, которые нельзя перевести в десятичные. Этим деление отличается от умножения, где результаты всегда представимы в десятичной форме. Разумеется, в таком случае последний шаг опять же не выполняется.

Обратите также внимание на 3-й и 4-й примеры. В них мы намеренно не сокращаем обычные дроби, полученные из десятичных. Иначе это усложнит обратную задачу - представление конечного ответа снова в десятичном виде.

Запомните: основное свойство дроби (как и любое другое правило в математике) само по себе еще не означает, что его надо применять везде и всегда, при каждом удобном случае.

37. Деление на десятичную дробь

Задача. Площадь прямоугольника равна 2,88 дм 2 , а его ширина равна 0,8 дм. Чему равна длина прямоугольника?

Р е ш е н и е. Так как 2,88 дм 2 = 288 см 2 , а 0,8 дм = 8 см, то длина прямоугольника равна 288: 8, то есть 36 см = 3,6 дм. Мы нашли такое число 3,6, что 3,6 0,8 = 2,88. Оно является частным от деления 2,88 на 0,8.

Ответ 3,6 можно получить, не переводя дециметры в сантиметры. Для этого надо умножить делитель 0,8 и делимое 2,88 на 10 (то есть перенести в них запятую на одну цифру вправо) и разделить 28,8 на 8. Снова получим: .

Чтобы разделить число на десятичную дробь , надо:
1) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;
2) после этого выполнить деление на натуральное число.

Пример 1. Разделим 12,096 на 2,24. Перенесём в делимом и делителе запятую на 2 цифры вправо. Получим числа 1209,6 и 224.

Так как , то и .

Пример 2. Разделим 4,5 на 0,125. Здесь надо перенести в делимом и делителе запятую на 3 цифры вправо. Так как в делимом только одна цифра после запятой, то припишем к нему справа два нуля. После переноса запятой получаем числа 4500 и 125.

Так как , то и .

Из примеров 1 и 2 видно, что при делении числа на неправильную дробь это число уменьшается или не изменяется, а при делении на правильную десятичную дробь оно увеличивается: , а .

Разделим 2,467 на 0,01. После переноса запятой в делимом и делителе на 2 цифры вправо получаем, что частное равно 246,7: 1, то есть 246,7. Значит, и 2,467: 0,01 = 246,7. Отсюда получаем правило:

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 , надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей (то есть умножить её на 10, 100, 1000).

Если цифр не хватает, надо сначала приписать в конце дроби несколько нулей.

Например, .

1443. Найдите частное и выполните проверку умножением:

а) 0,8: 0,5; б) 3,51: 2,7; в) 14,335: 0,61.

1444. Найдите частное и выполните проверку делением:

а) 0,096: 0,12; 6)0,126:0,9; в) 42,105: 3,5.

1445. Выполните деление:

1446. Запишите выражения:

а) частное от деления суммы а и 2,6 на разность b и 8,5;
б) сумму частного х и 3,7 и частного 3,1 и у.

1447. Прочитайте выражение:

а) m: 12,8 - n: 4,9; б) (х + 0,7) : (у + 3,4); в) (а: b) (8: с).

1448. Шаг человека равен 0,8 м. Сколько шагов надо ему сделать, чтобы пройти расстояние 100 м?

1449. Алёша проехал на поезде 162,5 км за 2,6 ч. С какой скоростью шёл поезд?

1450. Найдите массу 1 см 3 льда, если масса 3,5 см 3 льда равна 3,08 г.

1451. Верёвку разрезали на две части. Длина одной части 3,25 м, а длина другой части в 1,3 раза меньше первой. Какова была длина верёвки?

1452. В первый пакет вошло 6,72 кг муки, что в 2,4 раза больше, чем во второй пакет. Сколько килограммов муки вошло в оба пакета?

1453. На приготовление уроков Боря затратил в 3,5 раза меньше времени, чем на прогулку. Сколько времени ушло у Бори на прогулку и на приготовление уроков, если прогулка заняла 2,8 ч?

§ 107. Сложение десятичных дробей.

Сложение десятичных дробей выполняется так же, как и сложение целых чисел. Убедимся в этом на примерах.

1) 0,132 + 2,354. Подпишем слагаемые одно под другим.

Здесь от сложения 2 тысячных с 4 тысячными получилось 6 тысячных;
от сложения 3 сотых с 5 сотыми получилось 8 сотых;
от сложения 1 десятой с 3 десятыми -4 десятых и
от сложения 0 целых с 2 целыми - 2 целых.

2) 5,065 + 7,83.

Во втором слагаемом нет тысячных долей, поэтому важно не допускать ошибки при подписывании слагаемых друг под другом.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Здесь при сложении тысячных долей получилась 21 тысячная; мы написали 1 под тысячными, а 2 прибавили к сотым, таким образом, в разряде сотых у нас получились следующие слагаемые: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; в сумме они дают 19 сотых, мы подписали 9 под сотыми, а 1 присчитали к десятым и т. д.

Таким образом, при сложении десятичных дробей надо соблюдать следующий порядок: дроби подписывать одна под другой так, чтобы во всех слагаемых одинаковые разряды находились друг под другом и все запятые стояли в одном и том же вертикальном столбце; справа от десятичных знаков некоторых слагаемых приписывают, хотя бы мысленно, такое число нулей, чтобы все слагаемые после запятой имели одинаковое число цифр. Затем выполняют сложение по разрядам, начиная с правой стороны, и в полученной сумме ставят запятую в том же самом вертикальном столбце, в каком она находится в данных слагаемых.

§ 108. Вычитание десятичных дробей.

Вычитание десятичных дробей выполняется так же, как и вычитание целых чисел. Покажем это на примерах.

1) 9,87 - 7,32. Подпишем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы единицы одного разряда находились друг под другом:

2) 16,29 - 4,75. Подпишем вычитаемое под уменьшаемым, как в первом примере:

Чтобы сделать вычитание десятых, надо было занять одну целую единицу от 6 и раздробить её в десятые доли.

3) 14,0213- 5,350712. Подпишем вычитаемое под уменьшаемым:

Вычитание было выполнено следующим образом: так как мы не можем вычесть 2 миллионных из 0, то следует обратиться к ближайшему разряду, стоящему слева, т. е. к стотысячным, но на месте стотысячных тоже стоит нуль, поэтому берём из 3 десятитысячных 1 десятитысячную и раздробляем её в стотысячные, получаем 10 стотысячных, из них 9 стотысячных оставляем в разряде стотысячных, а 1 стотысячную раздробляем в миллионные, получаем 10 миллионных. Таким образом, в трёх последних разрядах у нас получилось: миллионных 10, стотысячных 9, десятитысячных 2. Эти числа для большей ясности и удобства (чтобы не позабыть) записаны сверху над соответствующими дробными разрядами уменьшаемого. Теперь можно приступить к вычитанию. Из 10 миллионных вычитаем 2 миллионных, получаем 8 миллионных; из 9 стотысячных вычитаем 1 стотысячную, получаем 8 стотысячных и т. д.

Таким образом, при вычитании десятичных дробей соблюдается следующий порядок: подписывают вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы одинаковые разряды находились друг под другом и все запятые стояли в одном и том же вертикальном столбце; справа приписывают, хотя бы мысленно, в уменьшаемом или вычитаемом столько нулей, чтобы они имели одинаковое число цифр, затем выполняют вычитание по разрядам, начиная с правой стороны, и в полученной разности ставят запятую в том же самом вертикальном столбце, в каком она находится в уменьшаемом и вычитаемом.

§ 109. Умножение десятичных дробей.

Рассмотрим несколько примеров умножения десятичных дробей.

Чтобы найти произведение этих чисел, мы можем рассуждать следующим образом: если множитель увеличить в 10 раз, то оба сомножителя будут целыми числами и мы можем их тогда перемножить по правилам умножения целых чисел. Но мы знаем, что при увеличении одного из сомножителей в несколько раз произведение увеличивается во столько же раз. Значит, число, которое получится от умножения целых сомножителей, т. е. 28 на 23, в 10 раз больше истинного произведения, а чтобы получить истинное произведение, нужно найденное произведение уменьшить в 10 раз. Следовательно, здесь придётся выполнить один раз умножение на 10 и один раз деление на 10, но умножение и деление на 10 выполняется путём перенесения запятой вправо и влево на один знак. Поэтому нужно поступить так: во множителе перенести запятую вправо на один знак, от этого он будет равен 23, затем нужно перемножить полученные целые числа:

Это произведение в 10 раз больше истинного. Следовательно, его надо уменьшить в 10 раз, для чего перенесём запятую на один знак влево. Таким образом, получим

28 2,3 = 64,4.

В целях проверки можно десятичную дробь написать со знаменателем и выполнить действие по правилу умножения обыкновенных дробей, т. е.

2) 12,27 0,021.

Отличие этого примера от предыдущего состоит в том, что здесь оба сомножителя представлены десятичными дробями. Но мы и здесь в процессе умножения не будем обращать внимания на запятые, т. е. временно увеличим множимое в 100 раз, а множитель в 1 000 раз, отчего произведение увеличится в 100 000 раз. Таким образом, умножая 1 227 на 21, получим:

1 227 21 = 25 767.

Принимая во внимание, что полученное произведение в 100 000 раз больше истинного, мы должны теперь уменьшить его в 100 000 раз путём надлежащей постановки в нём запятой, тогда получим:

32,27 0,021 = 0,25767.

Проверим:

Таким образом, чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно, не обращая внимания на запятые, перемножить их как целые числа и в произведении отделить запятой с правой стороны столько десятичных знаков, сколько их было во множимом и во множителе вместе.

В последнем примере получилось произведение с пятью десятичными знаками. Если такая большая точность не требуется, то делается округление десятичной дроби. При округлении следует пользоваться тем правилом, какое было указано для целых чисел .

§ 110. Умножение при помощи таблиц.

Умножение десятичных дробей можно иногда выполнять при помощи таблиц. Для этой цели можно, например, воспользоваться теми таблицами умножения двузначных чисел, описание которых было дано раньше .

1) Умножим 53 на 1,5.

Будем перемножать 53 на 15. В таблице это произведение равно 795. Мы нашли произведение 53 на 15, но у нас второй множитель был в 10 раз меньше, значит, и произведение нужно уменьшить в 10 раз, т. е.

53 1,5 = 79,5.

2) Умножим 5,3 на 4,7.

Сначала найдём в таблице произведение 53 на 47, это будет 2 491. Но так как мы увеличили множимое и множитель в общей сложности в 100 раз, то и полученное произведение в 100 раз больше, чем следует; поэтому мы должны уменьшить это произведение в 100 раз:

5,3 4,7 = 24,91.

3) Умножим 0,53 на 7,4.

Сначала найдём в таблице произведение 53 на 74; это будет 3 922. Но так как мы увеличили множимое в 100 раз, а множитель в 10 раз, то произведение увеличилось в 1 000 раз; поэтому мы теперь должны его уменьшить в 1 000 раз:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Деление десятичных дребей.

Деление десятичных дробей мы рассмотрим в таком порядке:

1. Деление десятичной дроби на целое число,

1. Деление десятичной дроби на целое число.

1) Разделим 2,46 на 2.

Мы разделили на 2 сначала целые, потом десятые доли и, наконец, сотые доли.

2) Разделим 32,46 на 3.

32,46: 3 = 10,82.

Мы разделили 3 десятка на 3, затем стали делить 2 единицы на 3; так как число единиц делимого (2) меньше делителя (3), то пришлось в частном поставить 0; далее, к остатку мы снесли 4 десятых и разделили 24 десятых на 3; получили в частном 8 десятых и, наконец, разделили 6 сотых.

3) Разделим 1,2345 на 5.

1,2345: 5 = 0,2469.

Здесь в частном на первом месте получился нуль целых, так как одна целая не делится на 5.

4) Разделим 13,58 на 4.

Особенность этого примера заключается в том, что когда мы получили в частном 9 сотых, то обнаружился остаток, равный 2 сотым, мы раздробили зтот остаток в тысячные доли, получили 20 тысячных и довели деление до конца.

Правило. Деление десятичной дроби на целое число выполняется так же, как и деление целых чисел, причём получающиеся остатки обращают в десятичные доли, всё более и более мелкие; деление продолжают до тех пор, пока в остатке не получится нуль.

2. Деление десятичной дроби на десятичную дробь.

1) Разделим 2,46 на 0,2.

Мы уже умеем делить десятичную дробь на целое число. Подумаем, нельзя ли и этот новый случай деления свести к предыдущему? В своё время мы рассматривали замечательное свойство частного, состоящее в том, что оно остаётся без изменения при одновременном увеличении или уменьшении делимого и делителя в одинаковое число раз. Мы без труда выполнили бы деление предложенных нам чисел, если бы делитель был целым числом. Для этого достаточно увеличить его в 10 раз, а для получения правильного частного необходимо во столько же раз, т. е. в 10 раз, увеличить и делимое. Тогда деление данных чисел заменится делением таких чисел:

причём никаких поправок в частном делать уже не придётся.

Выполним это деление:

Значит, 2,46: 0,2 = 12,3.

2) Разделим 1,25 на 1,6.

Увеличиваем делитель (1,6) в 10 раз; чтобы частное не изменилось, увеличиваем в 10 раз и делимое; 12 целых не делится на 16, поэтому пишем в частном 0 и делим 125 десятых на 16, получаем в частном 7 десятых и в остатке 13. Раздробляем 13 десятых в сотые путём приписывания нуля и делим 130 сотых на 16 и т. д. Обращаем внимание на следующее:

а) когда в частном не получается целых, то на их месте пишется нуль целых;

б) когда после снесения к остатку цифры делимого получается число, которое не делится на делитель, то в частном пишется нуль;

в) когда после снесения последней цифры делимого деление не оканчивается, то, приписывая к остаткам нули, продолжают деление;

г) если делимое - целое число, то при делении его на десятичную дробь увеличение его осуществляется посредством приписывания к нему нулей.

Таким образом, чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно отбросить в делителе запятую, а затем увеличить делимое во столько раз, во сколько увеличился делитель при отбрасывании в нём запятой, после чего выполнить деление по правилу деления десятичной дроби на целое число.

§ 112. Приближённое частное.

В предыдущем параграфе мы рассмотрели деление десятичных дробей, причём во всех решённых нами примерах деление доводилось до конца, т. е. получалось точное частное. Однако в большинстве случаев точное частное не может быть получено, как бы далеко мы ни продолжали деление. Вот один из таких случаев: разделим 53 на 101.

Мы уже получили пять цифр в частном, а деление ещё не окончилось и нет надежды, что оно когда-либо окончится, так как в остатках у нас начинают появляться цифры, которые встречались уже ранее. В частном также будут повторяться числа: очевидно, что вслед за цифрой 7 появится цифра 5, затем 2 и т. д. без конца. В таких случаях прерывают деление и ограничиваются несколькими первыми цифрами частного. Такое частное называется приближённым. Как при этом нужно выполнять деление, мы покажем на примерах.

Пусть требуется 25 разделить на 3. Очевидно, что точного частного, выраженного целым числом или десятичной дробью, от такого деления получиться не может. Поэтому мы будем искать приближённое частное:

25: 3 = 8 и остаток 1

Приближённое частное равно 8; оно, конечно, меньше точного частного, потому что имеется остаток 1. Чтобы получить точное частное, нужно к найденному приближённому частному, т. е. к 8, прибавить дробь, которая получится от деления остатка, равного 1, на 3; это будет дробь 1 / 3 . Значит, точное частное выразится смешанным числом 8 1 / 3 . Так как 1 / 3 представляет собой правильную дробь, т. е. дробь, меньшую единицы , то, отбрасывая её, мы допустим погрешность , которая меньше единицы . Частное 8 будет приближённым частным с точностью до единицы с недостатком. Если мы вместо 8 возьмём в частном 9, то тоже допустим погрешность, которая меньше единицы, так как мы прибавим не целую единицу, a 2 / 3 . Такое частное будет приближённым частным с точностью до единицы с избытком.

Возьмём теперь другой пример. Пусть требуется 27 разделить на 8. Так как и здесь не получится точного частного, выраженного целым числом, то мы будем искать приближённое частное:

27: 8 = 3 и остаток 3.

Здесь погрешность равна 3 / 8 , она меньше единицы, значит, приближённое частное (3) найдено с точностью до единицы с недостатком. Продолжим деление: раздробим остаток 3 в десятые доли, получим 30 десятых; разделим их на 8.

Мы получили в частном на месте десятых 3 и в остатке б десятых. Если мы в частном ограничимся числом 3,3, а остаток 6 отбросим, то мы допустим погрешность, меньшую одной десятой. Почему? Потому что точное частное получилось бы тогда, когда мы прибавили бы к 3,3 ещё результат деления 6 десятых на 8; от этого деления получилось бы 6 / 80 , что составляет меньше одной десятой. (Проверьте!) Таким образом, если в частном мы ограничимся десятыми долями, то можно будет сказать, что мы нашли частное с точностью до одной десятой (с недостатком).

Продолжим деление, чтобы найти ещё один десятичный знак. Для этого раздробим 6 десятых в сотые доли и получим 60 сотых; разделим их на 8.

В частном на третьем месте получилось 7 и в остатке 4 сотых; если мы их отбросим, то допустим погрешность, меньшую одной сотой, потому что 4 сотых, делённые на 8, составляют меньше одной сотой. В таких случаях говорят, что частное найдено с точностью до одной сотой (с недостатком).

В примере, который мы сейчас рассматриваем, можно получить точное частное, выраженное десятичной дробью. Для этого достаточно последний остаток, 4 сотых, раздробить в тысячные и выполнить деление на 8.

Однако в огромном большинстве случаев получить точное частное невозможно и приходится ограничиваться его приближёнными значениями. Такой пример мы сейчас и рассмотрим:

40: 7 = 5,71428571...

Точки, поставленные в конце числа, обозначают, что деление не закончено, т. е. равенство приближённое. Обычно приближённое равенство записывают так:

40: 7 = 5,71428571.

Мы взяли частное с восемью десятичными знаками. Но если такая большая точность не требуется, можно ограничиться лишь целой частью частного, т. е. числом 5 (точнее 6); для большей точности можно было бы учесть десятые доли и взять частное равным 5,7; если и эта точность почему-либо недостаточна, то можно остановиться на сотых и взять 5,71, и т. д. Выпишем отдельные частные и назовём их.

Первое приближённое частное с точностью до единицы 6.

Второе » » » до одной десятой 5,7.

Третье » » » до одной сотой 5,71.

Четвёртое » » » до одной тысячной 5,714.

Таким образом, чтобы найти приближённое частное с точностью до какого-нибудь, например, 3-го десятичного знака (т. е. до одной тысячной), прекращают деление, как только находят этот знак. При этом нужно помнить правило, изложенное в § 40 .

§ 113. Простейшие задачи на проценты.

После изучения десятичных дробей мы решим ещё несколько задач на проценты.

Эти задачи подобны тем, какие мы решали в отделе обыкновенных дробей; но теперь сотые доли мы будем записывать в форме десятичных дробей, т. е. без явно обозначенного знаменателя.

Прежде всего нужно уметь легко переходить от обыкновенной дроби к десятичной со знаменателем 100. Для этого надо числитель разделить на знаменатель:

В приводимой ниже таблице показано, каким образом число со значком % (процент) заменяется десятичной дробью со знаменателем 100:

Рассмотрим теперь несколько задач.

1. Нахождение процентов данного числа.

Задача 1. В одном селе проживает всего 1 600 человек. Число детей школьного возраста составляет 25% от общего числа жителей. Сколько детей школьного возраста в этом селе?

В этой задаче нужно найти 25%, или 0,25, от 1 600. Задача решается умножением:

1 600 0,25 = 400 (детей).

Следовательно, 25% от 1 600 составляют 400.

Для ясного понимания этой задачи полезно напомнить, что на каждую сотню населения приходится 25 детей школьного возраста. Следовательно, чтобы найти число всех детей школьного возраста, можно сначала узнать, сколько сотен в числе 1 600 (16), а затем 25 умножить на число сотен (25 х 16 = 400). Этим путём можно проверить справедливость решения.

Задача 2. Сберегательные кассы дают вкладчикам ежегодно 2% дохода. Сколько дохода за год получит вкладчик, положивший в кассу: а) 200 руб.? б) 500 руб.? в) 750 руб.? г)1000руб.?

Во всех четырёх случаях для решения задачи нужно будет вычислить 0,02 от указанных сумм, т. е. каждое из данных чисел придётся умножить на 0,02. Сделаем это:

а) 200 0,02 = 4 (руб.),

б) 500 0,02 = 10 (руб.),

в) 750 0,02 = 15 (руб.),

г) 1 000 0,02 = 20 (руб.).

Каждый из этих случаев может быть проверен следующими соображениями. Сберегательные кассы дают вкладчикам 2% дохода, т. е. 0,02 от положенной на сбережение суммы. Если бы сумма равнялась 100 руб., то 0,02 от неё составляли бы 2 руб. Значит, каждая сотня приносит вкладчику 2 руб. дохода. Поэтому в каждом из рассмотренных случаев достаточно сообразить, сколько в данном числе сотен, и на это число сотен умножать 2 руб. В примере а) сотен 2, значит,

2 2 = 4 (руб.).

В примере г) сотен 10, значит,

2 10 = 20 (руб.).

2. Нахождение числа по его процентам.

Задача 1. Весной школа выпустила 54 ученика, что составляет 6% от общего числа учащихся. Сколько всего учащихся было в школе в истекшем учебном году?

Уясним сначала смысл этой задачи. Школа выпустила 54 ученика, что составляет 6% от общего числа обучавшихся, или, иными словами, 6 сотых (0,06) от всех учеников школы. Значит, нам известна часть учащихся, выраженная числом (54) и дробью (0,06), а по этой дроби мы должны найти всё число. Таким образом, перед нами обыкновенная задача на нахождение числа по его дроби (§90 п.6). Задачи такого типа решаются делением:

Значит, в школе всего было 900 учащихся.

Такие задачи полезно проверять решением обратной задачи, т. е. после решения задачи следует, хотя бы в уме, решить задачу первого типа (нахождение процентов данного числа): принять найденное число (900) за данное и найти от него указанный в решённой задаче процент, а именно:

900 0,06 = 54.

Задача 2. Семья расходует на питание в течение месяца 780 руб., что составляет 65% месячного заработка отца. Определить его месячный заработок.

Эта задача имеет такой же смысл, что и предыдущая. В ней даётся часть месячного заработка, выраженная в рублях (780 руб.), и указывается, что эта часть составляет 65%, или 0,65, от всего заработка. А искомым является весь заработок:

780: 0,65 = 1 200.

Следовательно, искомый заработок составляет 1200 руб.

3. Нахождение процентного отношения чисел.

Задача 1. В школьной библиотеке всего 6 000 книг. Среди них 1 200 книг по математике. Сколько процентов математические книги составляют от числа всех книг, имеющихся в библиотеке?

Мы уже рассматривали (§97) такого рода задачи и пришли к выводу, что для вычисления процентного отношения двух чисел нужно найти отношение этих чисел и умножить его на 100.

В нашей задаче нужно найти процентное отношение чисел 1 200 и 6 000.

Найдём сначала их отношение, а затем умножим его на 100:

Таким образом, процентное отношение чисел 1 200 и 6 000 равно 20. Иными словами, математические книги составляют 20% от общего числа всех книг.

Для проверки решим обратную задачу: найти 20% от 6 000:

6 000 0,2 = 1 200.

Задача 2. Завод должен получить 200 т угля. Уже привезли 80 т. Сколько процентов угля доставлено на завод?

В этой задаче спрашивается, сколько процентов одно число (80) составляет от другого (200). Отношение этих чисел будет 80 / 200 . Умножим его на 100:

Значит, доставлено 40% угля.