Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называт иррациональными.
Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.
При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:
1) если показатель корня - четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (опредедение корня с четным показателем степени);
2) если показатель корня - нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.
Пример 1. Решить уравнение
Возведем обе части уравнения в квадрат.
x 2 - 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.
x 2 = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.
Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x 1 = -2 - истинно:
При x 2 = -2- истинно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.
Пример 2.
Решить уравнение
.
Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.
Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:
ОДЗ данного уранения: x.
Ответ: корней нет.
Пример 3.
Решить уравнение
=+ 2.
Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную задачу. Возведем обе части уравнения в квадрат:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 =1; x 2 =0.
Произведя проверку устанавливаем, что x 2 =0 лишний корень.
Ответ: x 1 =1.
Пример 4. Решить уравнение x =.
В этом примере ОДЗ найти легко. ОДЗ этого уравнения: x[-1;).
Возведем обе части этого уравнения в квадрат, в результате получим уравнение x 2 = x + 1. Корни этого уравнения:
Произвести проверку найденных корней трудно. Но, несмотря на то, что оба корня принадлежат ОДЗ утверждать, что оба корня являются корнями исходного уравнения нельзя. Это приведет к ошибке. В данном случае иррациональное уравнение равносильно совокупности двух неравенств и одного уравнения:
x + 10 и x0 и x 2 = x + 1, из которой следует, что отрицательный корень для иррационального уравнения является посторонним и его нужно отбросить.
Пример 5 . Решить уравнение+= 7.
Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним приведение подобных членов, перенес слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 0,5. В результате мы получим уравнение
= 12, (*) являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение (х + 5)(20 - х) = 144, являющееся следствием исходного. Полученное уравнение приводится к виду x 2 - 15x + 44 =0.
Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни x 1 = 4, х 2 = 11. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.
Отв. х 1 = 4, х 2 = 11.
Замечание
. При возведении уравнений в квадрат учащиеся нередко в уравнениях типа (*) производят перемножение подкоренных выражений, т. е. вместо уравнения = 12, пишут уравнение
= 12. Это не приводит к ошибкам, поскольку уравнения являются следствиями уравнений. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения.
В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция. Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.
Пример 6 . Решить уравнение-= 3.
Уединив первый радикал, получаем уравнение
=+ 3, равносильное исходному.
Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение
x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, равносильное уравнению
4x - 5 = 3(*). Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения в квадрат, приходим к уравнению
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - Зх + 3), или
7x 2 - 13x - 2 = 0.
Это уравнение является следствием уравнения (*) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни. Первый корень x 1 = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x 2 =- не удовлетворяет.
Ответ: x = 2.
Заметим, что если бы мы сразу, не уединив один из радикалов, возводили обе части исходного уравнения в квадрат нам бы пришлось выполнить довольно громозкие преобразования.
При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Куединская средняя общеобразовательная школа №2»
Способы решения иррациональных уравнений
Выполнила: Егорова Ольга,
Руководитель:
Учитель
математики,
высшей квалификационной
Введение ....……………………………………………………………………………………… 3
Раздел 1. Методы решения иррациональных уравнений …………………………………6
1.1 Решение иррациональных уравнений части С……….….….……………………21
Раздел 2.Индивидуальные задания …………………………………………….....………...24
Ответы ………………………………………………………………………………………….25
Список Литературы …….…………………………………………………………………….26
Введение
Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать. Одним из этих видов являются иррациональные уравнения.
Иррациональные уравнения
Уравнение, содержащее неизвестное (либо рациональное алгебраическое выражение от неизвестного) под знаком радикала, называют иррациональным уравнением . В элементарной математике решения иррациональных уравнений отыскивается в множестве действительных чисел.
Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных алгебраических операций (умножение, деление, возведение в целую степень обеих частей уравнения) может быть сведено к рациональному алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что полученное рациональное алгебраическое уравнение может оказаться неэквивалентным исходному иррациональному уравнению, а именно может содержать "лишние" корни, которые не будут корнями исходного иррационального уравнения. Поэтому, найдя корни полученного рационального алгебраического уравнения, необходимо проверить, а будут ли все корни рационального уравнения корнями иррационального уравнения.
В общем случае трудно указать какой-либо универсальный метод решения любого иррационального уравнения, так как желательно, чтобы в результате преобразований исходного иррационального уравнения получилось не просто какое-то рациональное алгебраическое уравнение, среди корней которого будут и корни данного иррационального уравнения, а рациональное алгебраическое уравнение образованное из многочленов как можно меньшей степени. Желание получить то рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени, вполне естественно, так как нахождение всех корней рационального алгебраического уравнения само по себе может оказаться довольно трудной задачей, решить которую полностью мы можем лишь в весьма ограниченном числе случаев.
Виды иррациональных уравнений
Решение иррациональных уравнений четной степени всегда вызывает больше проблем, чем решение иррациональных уравнений нечетной степени. При решении иррациональных уравнений нечетной степени изменение ОДЗ не происходит. Поэтому ниже будут рассматриваться иррациональные уравнения, степень которых является четной. Существует два вида иррациональных уравнений:
2.
.
Рассмотрим первый из них.
ОДЗ уравнения: f(x) ≥ 0. В ОДЗ левая часть уравнения всегда неотрицательна – поэтому решение может существовать только тогда, когда g(x) ≥ 0. В этом случае обе части уравнения неотрицательны, и возведение в степень 2 n дает равносильное уравнение. Мы получаем, что
Обратим внимание на то, что при этомОДЗ выполняется автоматически, и его можно не писать, а условие g(x) ≥ 0 необходимо проверять.
Примечание:
Это очень важное условие равносильности. Во-первых, оно освобождает учащегося от необходимости исследовать, а после нахождения решений проверять условие f(x) ≥ 0 – неотрицательности подкоренного выражения. Во-вторых, акцентирует внимание на проверке условия
g(x) ≥ 0 – неотрицательности правой части. Ведь после возведения в квадрат решается уравнение 
т. е. решаются сразу два уравнения (но на разных промежутках числовой оси!):
1. - там, где g(x) ≥ 0 и
2. 
- там, где g(x) ≤ 0.
Между тем многие, по школьной привычке находить ОДЗ, поступают при решении таких уравнений ровно наоборот:
а) проверяют, после нахождения решений, условие f(x) ≥ 0 (которое автоматически выполнено), делают при этом арифметические ошибки и получают неверный результат;
б) игнорируют условие g(x) ≥ 0 - и опять ответ может оказаться неверным.
Примечание: Условие равносильности особенно полезно при решении тригонометрических уравнений, в которых нахождение ОДЗ связано с решение тригонометрических неравенств, что гораздо сложнее, чем решение тригонометрических уравнений. Проверку в тригонометрических уравнениях даже условия g(x) ≥ 0 не всегда просто сделать.
Рассмотрим второй вид иррациональных уравнений.
.
Пусть задано уравнение . Его ОДЗ:
В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат дает равносильное уравнение f(x) = g(x). Поэтому в ОДЗ или
При таком способе решения достаточно проверить неотрицательность одной из функций – можно выбрать более простую.
Раздел 1. Методы решения иррациональных уравнений
1 метод. Освобождение от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень
Наиболее часто применяемым методом решения иррациональных уравнений является метод освобождения от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень. При этом следует иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень полученное уравнение, эквивалентное исходному, а при возведении обеих частей уравнения в четную степень полученное уравнение будет, вообще говоря, неэквивалентным исходному уравнению. В этом легко убедиться, возведя обе части уравнения в любую четную степень. В результате этой операции получается уравнение 
, множество решений которого представляет собой объединение множеств решений: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Однако, несмотря на этот недостаток, именно процедура возведения обеих частей уравнения в некоторую (часто четную) степень является самой распространенной процедурой сведения иррационального уравнения к рациональному уравнению.
Решить уравнение:
Где 
- некоторые многочлены. В силу определения операции извлечения корня в множестве действительных чисел допустимые значения неизвестного https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 height=21" height="21">..gif" width="243" height="28 src=">.
Так как обе части 1 уравнения возводились в квадрат, может оказаться, что не все корни 2 уравнения будет являться решениями исходного уравнения, необходима проверка корней.
Решить уравнение:
https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">
Возводя обе части уравнения в куб, получим
Учитывая, что https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Последнее уравнение может иметь корни, которые, вообще говоря, не являются корнями уравнения 
).
Возводим обе части этого уравнения в куб: . Перепишем уравнение в виде х3 – х2 = 0 ↔ х1 = 0, х2 = 1. проверкой устанавливаем, что х1 = 0 – посторонний корень уравнения (-2 ≠ 1), а х2 = 1 удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ: х = 1.
2 метод. Замена смежной системой условий
При решении иррациональных уравнений, содержащих радикалы четного порядка, в ответах могут появится посторонние корни, выявить которые не всегда просто. Чтобы легче было выявить и отбросить посторонние корни, в ходе решений иррациональных уравнений его сразу же заменяют смежной системой условий. Дополнительные неравенства в системе фактически учитывают ОДЗ решаемого уравнения. Можно находить ОДЗ отдельно и учитывать его позднее, однако предпочтительнее применять именно смешанные системы условий: меньше опасность что-то забыть, не учесть в процессе решения уравнения. Поэтому в некоторых случаях рациональнее использовать способ перехода к смешанным системам.
Решить уравнение: 
Ответ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">
Данное уравнение равносильно системе
Ответ: уравнение решений не имеет.
3 метод. Использование свойств корня n-ой степени
При решении иррациональных уравнений используются свойства корня n-ой степени. Арифметическим корнем n- й степени из числа а называют неотрицательное число, n- я степень числа которого равна а . Если n – четное(2n ), то а ≥ 0, в противном случае корень не существует. Если n – нечетное(2 n+1 ), то а – любое и = - ..gif" width="45" height="19"> Тогда:
2. 
3. 
4. 
5. 
Применяя любую из этих формул, формально (без учета указанных ограничений), следует иметь ввиду, что ОДЗ левой и правой частей каждой из них могут быть различными. Например, выражение определено при f ≥ 0 и g ≥ 0 , а выражение - как при f ≥ 0 и g ≥ 0 , так и при f ≤ 0 и g ≤ 0.
Для каждой из формул 1-5 (без учета указанных ограничений) ОДЗ правой ее части может быть шире ОДЗ левой. Отсюда следует, что преобразования уравнения с формальным использованием формул 1-5 «слева - направо» (как они написаны) приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. В этом случае могут появится посторонние корни исходного уравнения, поэтому обязательным этапом в решении исходного уравнения является проверка.
Преобразования уравнений с формальным использованием формул 1-5 «справа – налево» недопустимы, так как возможно суждение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно, и потеря корней.
https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,
являющееся следствием исходного. Решение этого уравнения сводится к решению совокупности уравнений 
.
Из первого уравнения этой совокупности находим https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> откуда находим . Таким образом корнями данного уравнения могут быть только числа (-1) и (-2). Проверка показывает, что оба найденных корня удовлетворяют данному уравнению.
Ответ: -1,-2.
Решите уравнение: .
Решение: на основании тождеств первое слагаемое заменить на . Заметить, что как сумма двух неотрицательных чисел левой части. «Снять» модуль и после приведения подобных членов решить уравнение. Так как , то получаем уравнение . Так как и 
, то и https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src=">.gif" width="145" height="21 src=">
Ответ: х = 4,25.
4 метод. Введения новых переменных
Другим примером решения иррациональных уравнений является способ введения новых переменных, относительно которых получается либо более простое иррациональное уравнение, либо рациональное уравнение.
Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием (с последующей проверкой корней) можно проводить следующим образом:
1. Найти ОДЗ исходного уравнения.
2. Перейти от уравнения к его следствию.
3. Найти корни полученного уравнения.
4. Проверить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.
Проверка состоит в следующем:
А) проверяется принадлежность каждого найденного корня ОДЗ исходного уравнения. Те корни, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними для исходного уравнения.
Б) для каждого корня, входящего в ОДЗ исходного уравнения, проверяется, имеют ли одинаковые знаки левая и правая части каждого из уравнений, возникающих в процессе решения исходного уравнения и возводимых в четную степень. Те корни, для которых части какого-либо возводимого в четную степень уравнения имеют разные знаки, являются посторонними для исходного уравнения.
В) только те корни, которые принадлежат ОДЗ исходного уравнения и для которых обе части каждого из уравнений, возникающих в процессе решения исходного уравнения и возводимых в четную степень, имеют одинаковые знаки, проверяются непосредственной подстановкой в исходное уравнение.
Такой метод решения с указанным способом проверки позволяет избежать громоздких вычислений в случае непосредственной подстановки каждого из найденных корней последнего уравнения в исходное.
Решить иррациональное уравнение:
.
Множество допустимых значений этого уравнения:
Положив , после подстановки получим уравнение
или эквивалентное ему уравнение
которое можно рассматривать как квадратное уравнение относительно. Решая это уравнение, получим
.
Следовательно, множество решений исходного иррационального уравнения представляет собой объединение множеств решений следующих двух уравнений:
, .
Возведя обе части каждого из этих уравнений в куб, получим два рациональных алгебраических уравнения:
, .
Решая эти уравнения, находим, что данное иррациональное уравнение имеет единственный корень х = 2 (проверка не требуется, так как все преобразования равносильны).
Ответ: х = 2.
Решить иррациональное уравнение:
Обозначим 2x2 + 5x – 2 = t. Тогда исходное уравнение примет вид 
. Возведя обе части полученного уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим уравнение , являющееся следствием предыдущего. Из него находим t = 16
.
Возвращаясь к неизвестному х, получим уравнение 2x2 + 5x – 2 = 16, являющееся следствием исходного. Проверкой убеждаемся, что его корни х1 = 2 и х2 = - 9/2 являются корнями исходного уравнения.
Ответ: х1 = 2, х2 = -9/2.
5 метод. Тождественное преобразование уравнения
При решении иррациональных уравнений не следует начинать решение уравнение с возведения обеих частей уравнений в натуральную степень, пытаясь свести решение иррационального уравнения к решению рационального алгебраического уравнения. Сначала необходимо посмотреть, нельзя ли сделать какое-нибудь тождественное преобразование уравнения, которое может существенно упростить его решение.
Решить уравнение:
Множество допустимых значений данного уравнения:https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Разделим данное уравнение на .
.
Получим:
При а =0 уравнение решений иметь не будет; при уравнение может быть записано в виде
при данное уравнение решений не имеет, так как при любом х , принадлежащем множеству допустимых значений уравнения, выражение, стоящее в левой части уравнения, положительно;
при уравнение имеет решение
Принимая во внимание, что множество допустимых решений уравнения определяется условием , получаем окончательно:
При решением этого иррационального уравнения будет https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> решением уравнения будет . При всех остальных значениях х уравнение решений не имеет.
ПРИМЕР 10:
Решить иррациональное уравнение: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">
Решение квадратного уравнения системы дает два корня: х1 = 1 и х2 = 4. первый из полученных корней не удовлетворяет неравенству системы, поэтому х = 4.
Примечания.
1) Проведение тождественных преобразований позволяет обходиться без проверки.
2) Неравенство х – 3 ≥0 относится к тождественным преобразованиям, а не к области определения уравнения.
3) В левой части уравнения стоит убывающая функция, а в правой части этого уравнения расположена возрастающая функция. Графики убывающей и возрастающей функций в пересечении их областей определения могут иметь не больше одной общей точки. Очевидно, что в нашем случае х = 4 является абсциссой точки пересечения графиков.
Ответ: х = 4.
6 метод. Использование области определения функций при решении уравнений
Этот метод наиболее результативен при решении уравнений, в состав которых входят функции https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> и найти ее область определения (f)
..gif" width="53" height="21">
.gif" width="88" height="21 src=">, то нужно проверить верно ли уравнение на концах промежутка, причем, если а < 0, а b > 0, то необходима проверка на промежутках (а;0)
и . Наименьшее целое число в Е(у) равно 3.
Ответ : х = 3.
8 метод. Применение производной при решении иррациональных уравнений
Чаще всего при решении уравнений с помощью метода применения производной используется метод оценки.
ПРИМЕР 15:
Решите уравнение: (1)
Решение: Так как https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, или (2). Рассмотрим функцию 
..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> при всех и, следовательно, возрастает. Поэтому уравнение 
равносильно уравнению , имеющему корень , являющимся корнем исходного уравнения.
Ответ:
ПРИМЕР 16:
Решить иррациональное уравнение:
Область определения функции есть отрезок . Найдем наибольшее и наименьшее значение значения этой функции на отрезке . Для этого найдем производную функции f(x) : https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Найдем значения функции f(x) на концах отрезка и в точке : Значит, Но и, следовательно, равенство возможно лишь при условииhttps://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=">. Проверка показывает, что число 3 – корень данного уравнения.
Ответ: х = 3.
9 метод. Функциональный
На экзаменах иногда предлагают решить уравнения, которые можно записать в виде , где - это некоторая функция.
Например, некоторые уравнения: 1)
2) 
. Действительно, в первом случае 
, во втором случае 
. Поэтому решать иррациональные уравнения с помощью следующего утверждения: если функция строго возрастает на множестве Х
и для любого , то уравнения и т. д. равносильны на множестве Х
.
Решить иррациональное уравнение: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> строго возрастает на множестве R, и https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src="> которое имеет единственный корень Следовательно, и равносильное ему уравнение (1) также имеет единственный корень
Ответ: х = 3.
ПРИМЕР 18:
Решить иррациональное уравнение: 
(1)
В силу определения квадратного корня получаем, что если уравнение (1) имеет корни, то они принадлежат множеству https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. (2)
Рассмотрим функцию https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> строго возрастает на этом множестве для любого ..gif" width="100" height="41"> которое имеет единственный корень Следовательно, и равносильное ему на множестве Х уравнение (1) имеет единственный корень
Ответ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">
Решение: Данное уравнение равносильно смешанной системе
Решение иррациональных уравнений.
В этой статье мы поговорим о способах решения простейших иррациональных уравнений.
Иррациональным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестное под знаком корня.
Давайте рассмотрим два вида иррациональных уравнений , которые очень похожи на первый взгляд, но по сути сильно друг от друга отличаются.
(1)
(2)
В первом уравнении
мы видим, что неизвестное стоит под знаком корня третьей степени. Мы можем извлекать корень нечетной степени из отрицательного числа, поэтому в этом уравнении нет никаких ограничений ни на выражение, стоящее под знаком корня, ни на выражение, стоящее в правой части уравнения. Мы можем возвести обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от корня. Получим равносильное уравнение:
При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень мы можем не опасаться получить посторонние корни.
Пример 1
. Решим уравнение 
Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:
Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:
Приравняем каждый множитель к нулю, получим:
Ответ: {0;1;2}
Посмотрим внимательно на второе уравнение: . В левой части уравнения стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения. Поэтому, чтобы уравнение имело решения, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Поэтому на правую часть уравнения накладывается условие:
Title="g(x)>=0"> - это условие существования корней .
Чтобы решить уравнение такого вида, нужно обе части уравнения возвести в квадрат:
(3)
Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому нам надо уравнения:
Title="f(x)>=0"> (4)
Однако, неравенство (4) следует из условия (3): если в правой части равенства стоит квадрат какого-то выражения, а квадрат любого выражения может принимать только неотрицательные значения, следовательно левая часть тоже должна быть неотрицательна. Поэтому условие (4) автоматически следует из условия (3) и наше уравнение равносильно системе:
Title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)=g^2{(x)}} {g(x)>=0} }}{ }">
Пример 2 . Решим уравнение:
.
Перейдем к равносильной системе:
Title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x^2-7x+5={(1-x)}^2} {1-x>=0} }}{ }">
Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют неравеству.
Неравеству title="1-x>=0">удовлетворяет только корень
Ответ: x=1
Внимание! Если мы в процессе решения возводим обе части уравнения в квадрат, то нужно помнить, что могут появиться посторонние корни. Поэтому либо нужно переходить к равносильной системе, либо в конце решения СДЕЛАТЬ ПРОВЕРКУ: найти корни и подставить их в исходное уравнение.
Пример 3 . Решим уравнение:
Чтобы решить это уравнение, нам также нужно возвести обе части в квадрат. Давайте в этом уравнении не будем заморачиваться с ОДЗ и условием существования корней, а просто в конце решения сделаем проверку.
Воозведем обе части уравнения в квадрат:
Перенесем слагаемое, содержащее корень влево, а все остальные слагаемые вправо:
Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:
По тереме Виета:
Сделаем проверку. Для этого подставим найденные корни в исходное уравнение. Очевидно, что при правая часть исходного уравнения отрицательна, а левая положительна.
При получаем верное равенство.
Методические разработки к элективному курсу
«Методы решений иррациональных уравнений»»
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемый элективный курс «Методы решений иррациональных уравнений» предназначен для учащихся 11 класса общеобразовательной школы и является предметно-ориентированным, направлен на расширение теоретических и практических знаний учащихся. Элективный курс построен с опорой на знания и умения, получаемые учащимися при изучении математики в средней школе.
Специфика данного курса заключается в том, что он предназначен в первую очередь для учащихся, желающих расширить, углубить, систематизировать, обобщить свои математические знания, изучить единые методы и приемы решения иррациональных уравнений. В программу включены вопросы, частично выходящие за рамки ныне действующих программ по математике и нестандартные методы, которые позволяют более эффективно решать разные задачи.
Большинство заданий ЕГЭ требуют от выпускников владения различными методами решения разного рода уравнений и их систем. Материал, связанный с уравнениями и системами уравнений, составляет значительную часть школьного курса математики. Актуальность выбора темы элективного курса определяется значимостью темы «Иррациональные уравнения» в школьном курсе математики и, вместе с тем, нехваткой времени на рассмотрение нестандартных методов и подходов к решению иррациональных уравнений, которые встречаются в заданиях группы «С» ЕГЭ.
Наряду с основой задачей обучения математике -обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений – данный элективный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, развитие математических способностей, повышение уровня математической культуры учащихся, создает базу для успешной сдачи ЕГЭ и продолжения обучения в ВУЗах.
Цель курса:
Повысить уровень понимания и практической подготовки при решении иррациональных уравнений;
Изучить приёмы и методы решения иррациональных уравнений;
Формировать умение анализировать, выделять главное, формировать элементы творческого поиска на основе приёмов обобщения;
Расширить знания учащихся по данной теме, совершенствовать умения и навыки решения различных задач для успешной сдачи ЕГЭ.
Задачи курса:
Расширение знаний о методах и способах решения алгебраических уравнений;
Обобщение и систематизация знаний при обучении в 10-11 классах и подготовке к ЕГЭ;
Развитие умения самостоятельно приобретать и применять знания;
Приобщение учащихся к работе с математической литературой;
Развитие логического мышления учащихся, их алгоритмической культуры и математической интуиции;
Повышение математической культуры ученика.
Программа элективного курса предполагает изучение различных методов и подходов при решении иррациональных уравнений, отработку практических навыков по рассматриваемым вопросам. Курс рассчитан на 17 часов.
Программа усложнена, превосходит обычный курс обучения, способствует развитию абстрактного мышления, расширяет область познания учащегося. Вместе с тем она сохраняет преемственность с действующими программами, являясь их логическим продолжением.
Учебно-тематический план
№п/п
Тема занятий
Кол-во часов
Решение уравнений с учетом области допустимых значений
Решение иррациональных уравнений путем возведения в натуральную степень
Решение уравнений методом введения вспомогательных переменных (метод замены)
Решение уравнения с радикалом третьей степени.
Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений
Нетрадиционные задачи. Задачи группы «С» ЕГЭ
Формы контроля: домашние контрольные, самостоятельные работы, рефераты и исследовательские работы.
В результате обучения данного элективного курса учащиеся должны уметь решать различные иррациональные уравнения, используя стандартные и нестандартные методы и приемы;
усвоить алгоритм решения стандартных иррациональных уравнений;
уметь использовать свойства уравнений для решения нестандартных заданий;
уметь выполнять тождественные преобразования при решении уравнений;
иметь четкое представление о темах единого государственного экзамена, об основных методах их решений;
приобрести опыт в выборе методов для решения нестандартных задач.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.
Уравнения, в которых неизвестная величина находится под знаком радикала, называются иррациональными.
К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида:
Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. При решении иррациональных уравнений речь всегда идет об отыскании действительных корней.
Рассмотрим некоторые способы решения иррациональных уравнений.
1.Решение иррациональных уравнений с учетом области допустимых значений (ОДЗ).
Область допустимых значений иррационального уравнения состоит из тех значений неизвестных, при которых неотрицательными являются все выражения, стоящие под знаком радикала четной степени.
Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ .
Пример1 . Решить уравнение .
Решение . Найдя ОДЗ этого уравнения, приходим к выводу, что ОДЗ исходного уравнения – одноэлементное множество . Подставив х=2 в данное уравнение, приходим к выводу, что х=2 – корень исходного уравнения.
Ответ : 2 .
Пример2.
Уравнение не имеет решений, т.к. при каждом допустимом значении переменной сумма двух неотрицательных чисел не может быть отрицательна.
Пример 3.
+ 3 = 
.
ОДЗ:
ОДЗ уравнения пустое множество.
Ответ: уравнение корней не имеет.
Пример4.
3
−4
−
=−(2+
).
ОДЗ:
ОДЗ: 
. Проверкой убеждаемся, что х=1 - корень уравнения.
Ответ: 1.
Докажите, что уравнение не имеет
корней.
1. 
= 0.
2. 
=1.
3. 5
.
4.
+ 
=2.
5.=
.
Решите уравнение.
1. .
2. = 0.
3. 
= 92.
4. = 0.
5. 
+
+(х+3)(2005−х)=0.
2. Возведение обеих частей уравнения в натуральную степень , то есть переход от уравнения
(1)
к уравнению
. (2)
Справедливы следующие утверждения:
1) при любом уравнение (2) является следствием уравнения (1);
2) если (n – нечетное число), то уравнения (1) и (2) равносильны ;
3) если (n – четное число), то уравнение (2) равносильно уравнению
, (3)
а уравнение (3) равносильно совокупности уравнений
. (4)
В частности, уравнение
(5)
равносильно совокупности уравнений (4).
Пример 1 . Решить уравнение
.
Уравнение равносильно системе
откуда следует, что х=1 , а корень не удовлетворяет второму неравенству. При этом грамотное решение не требует проверки.
Ответ: х=1 .
Пример 2 . Решить уравнение .
Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению 
, получим корни и . Однако при этих значениях x
не выполняется неравенство , и потому данное уравнение не имеет корней.
Ответ : корней нет.
Пример 3 . Решить уравнение
Уединив первый радикал, получаем уравнение
равносильное исходному.
Возводя обе части этого уравнения в квадрат, так как они обе положительны, получаем уравнение
,
которое является следствием исходного уравнения. Возводя обе части этого уравнения в квадрат при условии, что , приходим к уравнению
.
Это уравнение имеет корни , . Первый корень удовлетворяет исходному условию , а второй – не удовлетворяет.
Ответ : х=2 .
Если уравнение содержит два и более радикалов, то их сначала уединяют, а потом возводят в квадрат.
Пример 1.
Уединив первый радикал, получим уравнение , равносильное данному. Возведем в квадрат обе части уравнения:
Выполнив необходимые преобразования, полученное уравнение возведем в квадрат 
Выполнив проверку, замечаем, что
не входит в область допустимых значений.
Ответ: 8.
Ответ: 2
Ответ: 3; 1,4 .
3. Многие иррациональные уравнения решаются методом введения вспомогательных переменных.
Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение , зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.
Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда несколько завуалирована, но «ощущается», а иногда «проявляется» лишь в процессе преобразований.
Пример 1.
Пусть 
t>0, тогда
t =
,
t 2 +5t-14=0,
t 1 =-7, t 2 =2. t=-7 не удовлетворяет условию t>0, тогда
,
х 2 -2х-5=0,
х 1 =1-
, х 2 =1+.
Ответ: 1-; 1+.
Пример 2.
Решить иррациональное уравнение 
Замена:
Обратная замена: /
Ответ:
Пример 3.
Решите уравнение 
.
Сделаем замены: , . Исходное уравнение перепишется в виде , откуда находим, что а
= 4b
и . Далее, возводя обе части уравнения 
в квадрат, получаем: Отсюда х
= 15 . Осталось сделать проверку:
- верно!
Ответ: 15.
Пример 4 . Решить уравнение
Положив , получим существенно более простое иррациональное уравнение . Возведем обе части уравнения в квадрат: .
; 
;
; 
; , .
Проверка найденных значений, их подстановка в уравнение показывает, что – корень уравнения, а – посторонний корень.
Возвращаясь к исходной переменной x , получаем уравнение , то есть квадратное уравнение , решив которое находим два корня: ,. Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ : , .
Замена особенно полезна, если в результате достигается новое качество, например, иррациональное уравнение превращается в рациональное.
Пример 6 . Решить уравнение .
Перепишем уравнение так: .
Видно, что если ввести новую переменную 
, то уравнение примет вид 
, откуда - посторонний корень и .
Из уравнения получаем , .
Ответ : , .
Пример 7
. Решить уравнение 
.
Введем новую переменную , .
В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного
,
откуда учитывая ограничение , получаем . Решая уравнение , получаем корень . Ответ : 2,5.
Задания для самостоятельного решения.
1. 
+
=
.
2. 
+
=.
3.
.
5. 
.
4.Метод введения двух вспомогательных переменных.
Уравнения вида 
(здесь a
,
b
,
c
,
d
–
некоторые числа, m
,
n
–
натуральные числа) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных:
и , где и последующего перехода к эквивалентной системе рациональных уравнений
.
Пример 1 . Решить уравнение .
Возведение обеих частей этого уравнения в четвертую степень не обещает ничего хорошего. Если же положить , , то исходное уравнение переписывается так: . Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z . Для этого возведем равенства , в четвертую степень и заметим, что . Итак, надо решить систему уравнений
Возведением в квадрат получаем:
После подстановки имеем: или . Тогда система имеет два решения: , ; , , а система не имеет решений.
Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным
и систему Первая из них дает , вторая дает .
Ответ : , .
Пример 2.
Пусть 
Ответ: 
5.
Уравнения с радикалом третьей степени.
При решении уравнений, содержащих радикалы 3-й степени, бывает полезно пользоваться сложением тождествами:
Пример 1.
.
Возведём обе части этого уравнения в 3-ю степень и воспользуемся выше приведённым тождеством:
Заметим, что выражение стоящее в скобках равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим:
Раскроем скобки, приведём подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни
и
. Если считать (по определению), что корень нечётной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения.
Ответ:
.
6.Умножение обеих частей уравнения на сопряженное одной из них выражение.
Иногда иррациональное уравнение удается решить довольно быстро, если обе его части умножить на удачно подобранную функцию. Конечно, при умножении обеих частей уравнения на некоторую функцию могут появиться посторонние решения, ими могут оказаться нули самой этой функции. Поэтому предлагаемый метод требует обязательного исследования получающихся значений.
Пример 1. Решите уравнение
Решение: Выберем функцию
Умножим обе части уравнения на выбранную функцию:
Приведем подобные слагаемые и получим равносильное уравнение
Сложим исходное уравнение и последнее, получим
Ответ: .
7.Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений
При решении иррациональных уравнений часто приходится применять тождественные преобразования, связанные с использованием известных формул. К сожалению, эти действия иногда столь же небезопасны, так же как возведение в четную степень, – могут приобретаться или теряться решения.
Рассмотрим несколько ситуаций, в которых эти проблемы наступают, и научимся их распознать и предотвращать.
I. Пример 1 . Решить уравнение .
Решение.
Здесь применима формула 
.
Только необходимо задуматься о безопасности ее применения. Нетрудно видеть, что ее левая и правая части имеют разные области определения и что это равенство верно лишь при условии . Поэтому исходное уравнение равносильно системе
Решая уравнение этой системы, получим корни и . Второй корень не удовлетворяет совокупности неравенств системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.
Ответ: -1 .
II .Следующее опасное преобразование при решении иррациональных уравнений, определяется формулой .
Если пользоваться этой формулой слева направо, расширяется ОДЗ и можно приобрести посторонние решения. Действительно, в левой части обе функции и должны быть неотрицательны; а в правой неотрицательным должно быть их произведение.
Рассмотрим пример, где реализуется проблема с использованием формулы .
Пример 2 . Решить уравнение .
Решение. Попробуем решить это уравнение разложением на множители
Заметим, что при этом действии оказалось потерянным решение , так как оно подходит к исходному уравнению и уже не подходит к полученному: не имеет смысла при . Поэтому это уравнение лучше решать обычным возведением в квадрат
Решая уравнение этой системы, получим корни и . Оба корня удовлетворяют неравенству системы.
Ответ: , .
III .Существует еще более опасное действие – сокращение на общий множитель.
Пример 3
. Решить уравнение 
.
Неверное рассуждение: Сократим обе части уравнения на , получим 
.
Нет ничего более опасного и неправильного, чем это действие. Во-первых, подходящее решение исходного уравнения было потеряно; во-вторых, было приобретено два посторонних решения . Получается, что новое уравнение не имеет ничего общего с исходным! Приведем правильное решение.
Решение . Перенесем все члены в левую часть уравнения и разложим ее на множители
.
Это уравнение равносильно системе
которая имеет единственное решение .
Ответ: 3 .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В рамках изучения элективного курса показаны нестандартные приемы решения сложных задач, которые успешно развивают логическое мышление, умение найти среди множества способов решения тот, который комфортен для ученика и рационален. Этот курс требует от учащихся большой самостоятельной работы, способствует подготовке учащихся к продолжению образования, повышения уровня математической культуры.
В работе были рассмотрены основные методы решения иррациональных уравнений, некоторые подходы к решению уравнений высших степеней, использование которых предполагается при решении заданий ЕГЭ, а также при поступлении в ВУЗы и продолжении математического образования. Также было раскрыто содержание основных понятий и утверждений, относящихся к теории решения иррациональных уравнений. Определив самый распространённый метод решения уравнений, выявили его применение в стандартных и не стандартных ситуациях. Кроме того, были рассмотрены типичные ошибки при выполнении тождественных преобразований и способы их преодоления.
При прохождении курса учащиеся получат возможность овладеть различными методами и приемами решения уравнений, при этом научатся систематизировать и обобщать теоретические сведения, самостоятельно заниматься поиском решения некоторых проблем и в связи с этим составлять ряд задач и упражнений по данным темам. Выбор сложного материала поможет школьникам проявить себя в исследовательской деятельности.
Положительной стороной курса является возможность дальнейшего применения учащимися изученного материала при сдаче ЕГЭ, поступлении в ВУЗы.
Отрицательной стороной является то, что не каждый учащийся в состоянии овладеть всеми приемами данного курса, даже имея на то желание, ввиду трудности большинства решаемых задач.
ЛИТЕРАТУРА:
Шарыгин И.Ф. « Математика для поступающих в вузы».-3-е изд.,-М.:Дрофа, 2000.
Уравнения и неравенства. Справочное пособие./ Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. –М.: Экзамен,1998.
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. «Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену». – 8-е изд., испр. и доп. – М.:Айрис, 2003. – (Домашний репетитор)
Балаян Э.Н. Комплексные упражнения и варианты тренировочных заданий к ЕГЭ по математике. Ростов на – Дону: Изд-во «Феникс», 2004.
Сканави М.И. «Сборник задач по математике для поступающих в вузы». - М., «Высшая школа»,1998.
Игусман О.С. «Математика на устном экзамене». - М.,Айрис,1999.
Экзаменационные материалы для подготовки к ЕГЭ – 2008 – 2012.
В.В.Кочагин, М.Н.Кочагина «ЕГЭ – 2010. Математика. Репетитор» Москва «Просвещение» 2010г.
В.А.Гусев, А.Г.Мордкович «Математика. Справочные материалы» Москва «Просвещение» 1988г.
После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Понятие уравнения
Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:
Определение 1
Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t , r , m др., но чаще всего используются x , y , z . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.
Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x = 5 , y = 6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6: x = 3 .
После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 · (x − 1) = 19 , x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x · (8 + 1) − 7 = 8 , 3 − 3 = z + 3 или 8 · x − 9 = 2 · (x + 17) .
Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.
В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:
Определение 2
Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.
То есть, к примеру, выражение x + 3 = 6 · x + 7 – это уравнение с переменной x , а 3 · y − 1 + y = 0 – уравнение с переменной y .
В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:
Определение 3
Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.
К примеру, равенство вида 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 является уравнением с одной переменной x , а x − z = 5 – уравнением с двумя переменными x и z . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0 , 6) 2 = 26 .
Корень уравнения
Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.
Пример 1
Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a + 1 = 5 мы заменим букву числом 2 , то равенство станет неверным, а если 4 , то получится верное равенство 4 + 1 = 5 .
Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.
Определение 4
Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.
Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.
Пример 2
Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a + 1 = 5 . Согласно определению, корнем в данном случае будет 4 , потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2 + 1 = 5 .
Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.
Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0 · x = 5 . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0 .
Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.
Пример 3
Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня – три и минус три, в x · (x − 1) · (x − 2) = 0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.
Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅ . Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня - 2 , 1 и 5 , то пишем - 2 , 1 , 5 или { - 2 , 1 , 5 } .
Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y , а корнями являются 2 и 7 , то мы пишем y = 2 и y = 7 . Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x 1 = 3 , x 2 = 5 . Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N , целых – Z , действительных – R . Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x ∈ Z , а если любое действительное от единицы до девяти, то y ∈ 1 , 9 .
Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.
Определение 5
Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.
Поясним определение на примерах.
Пример 4
Допустим, у нас есть выражение x + y = 7 , которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4 , то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.
Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как (3 , 4) .
На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Новогодние торты – оригинальные идеи оформления десертов в новогоднем стиле!
Толкование сна шнурки в сонниках Снилось белый шнурок
Котенковские чтения Награды и звания