Основные правила комбинаторики.

Комбинаторика - это раздел математики, изучающий способы расположения объектов в соответствии со специальными правилами и методы подсчета числа всех возможных способов. Правило умножения. Если некоторый выбор A можно осуществить m способами, а для каждого из них некоторый другой выбор B можно осуществить n способами, то выбор A и B (в указанном порядке) можно осуществить m×n способами. Пример 1. На гору ведут 6 дорог. Сколькими способами можно подняться на гору и спуститься с горы, если подъем и спуск должен быть по разным дорогам? Решение. Дорогу на гору можно выбрать 6-ю способами, так как подъем и спуск должны быть по разным дорогам, то выбрать дорогу для спуска можно 5-ю способами. Тогда по правилу умножения число способов выбора дороги для подъема и спуска равно 6×5=30. Правило сложения. Если некоторый выбор A можно осуществить m способами, а выбор B можно осуществить n способами, то выбор A или B можно осуществить m+n способами. Пример 2. В ящике имеется 6 красных карандашей, 5 синих и 3 простых карандаша. Сколькими способами можно выбрать цветной карандаш? Решение. Цветной карандаш - это красный или синий, следовательно, по правилу сложения число способов выбора цветного карандаша равно 6+5=11. Замечание. Данные правила можно обобщить на большее число выборов. Вопрос. Сколько основных правил комбинаторики существует?

Перестановки.

Определение 1. Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое натуральное число от 1 до n, где n - это число элементов данного множества, причем разным элементам поставлены в соответствие разные числа.

Упорядоченные множества считаются различными, если они отличаются либо своими элементами, либо их порядком. Определение 2. Различные упорядоченные множества, составленные из элементов данного множества, отличающиеся лишь порядком элементов, называются его перестановками. Пример 3. Рассмотрим множество M={a,b,c}. Это множество из трех элементов. Составим его различные перестановки: (a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a). Получили 6 перестановок. P n - число всех перестановок множества из n элементов.

P n =n! (1), где

n!=1·2·3·...·n (читается "н факториал"). Замечание. 0!=1; (n+1)!=n!·(n+1) . Пример 4. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5, при условии, что в числе нет одинаковых цифр? Решение. Числа, кратные пяти(делящиеся на пять), оканчиваются либо на 0, либо на 5. Если последняя цифра числа 0, то остальные цифры можно располагать в любом порядке, получим перестановки из пяти элементов, их P 5 =5!=120. Если на конце 5, то остальные можно расположить P 5 =120 способами, но среди них не подходят те, которые начинаются на 0, так как это будут не шестизначные числа. а пятизначные, данных чисел P 4 =4!=24.Тогда требуемых чисел будет 120+120-24=216.

Вопрос. Сколько существует перестановок из шести элементов?

Ваш ответ : 720

Перестановки с повторениями.

Если взять цифры 1, 2, 3, 4, то из них можно составить 24 перестановки. Но если взять четыре цифры 1, 1, 2, 2, то можно получить только следующие различные перестановки: (1,1,2,2),(1,2,1,2),(1,2,2,1),((2,2,1,1),(2,1,2,1),(2,1,1,2), то есть шесть перестановок, их в 4 раза меньше, чем перестановок из четырех различных чисел, так как перестановки, в которых меняются местами одинаковые числа - это не новые перестановки, их 2!·2!=4. Рассмотрим задачу в общем виде:пусть имеется множество из элементов, в котором элементывстречаютсяраз, элементывстречаютсяраз,..., элементывстречаютсяраз, причем.

Определение 3. Перестановки с повторениями - это перестановки из элементов данного множества, в которых элементы повторяются. - число всех перестановок с повторениями. Число перестановок, не меняющих данную перестановку с повторениями равно, ачисел можно переставлятьспособами, поэтому получаем следующую формулу для вычисления числа перестановок с повторениями:

Пример 4. Сколькими способами можно расселить 8 студентов по трем комнатам: одноместной, трехместной и четырехместной? Решение. Различныеспособы расселения студентов по комнатам являются перестановками с повторениями, так как внутри, например, трехместной комнаты выбранные студенты могут занимать спальные места по-разному, но эти варианты не будут являться новыми перестановками, поэтому получаем: То есть всего 280 способов расселения студентов.Вопрос. Вычислить

Сочетания.

Пусть некоторое множество содержит n элементов.

Определение 4. Всякое m- элементное подмножество n- элементного множества называется сочетанием из n элементов по m. - число всех сочетаний.

(3)

Пример 5. Для соревнований из 30 спортсменов надо выбрать трех человек. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Команда из 3 спортсменов - это подмножество из трех элементов, то есть сочетание из 30 по 3, поэтому количество способов выбора таких команд вычисляется по формуле (3): .

Свойства сочетаний.

1. 2.. Из данных свойств следует, что, тогда, далее,,и так далее. Можно расположить эти числа в виде таблицы:

.....................................................

.......................

Эта таблица в виде треугольника называется треугольником Паскаля.

Определение 5. Выражение a+b называется биномом.

Формула (4) называется биномиальной формулой Ньютона, а коэффициенты называются биномиальными коэффициентами. Из данной формулы вытекает следующее свойство числа сочетаний

Вопрос. .

Сочетания с повторениями

Пусть имеется множество, содержащее n видов элементов, поэтому есть взять какое-то подмножество этого множества, то в нем могут быть одинаковые элементы. Определение 6. Сочетание с повторениями - это m- элементное подмножество множества, содержащего n видов элементов, в котором элементы повторяются. - число всех сочетаний с повторениями из n по m. Состав m- элементного подмножества имеет вид, где. Заменяя каждое из чиселсоответствующим количеством единиц и разделяя единицы нулями, получаем набор, состоящий из m единиц и n-1 нулей. Каждому составу отвечает только одна запись из нулей и единиц, а каждая запись задает только один состав, следовательно, число различных составов равно числу перестановок с повторениями из n-1 нулей и m единиц. Получаем формулу для вычисления всех сочетаний с повторениями.

(5)

Пример 6. В кондитерском магазине продаются пирожные четырех видов: наполеоны, эклеры, песочные и бисквитные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных? Решение. Любая покупка - это подмножество, в котором могут быть одинаковые элементы, поэтому это сочетание с повторениями. Число всех возможных покупок находим по формуле (5): .Вопрос. В формуле (5) m может быть больше n.

Размещения

Определение 7. Упорядоченное m - элементное подмножество n- элементного множества называется размещением. - число всех размещений из n элементов по m. Число всех размещений из n по m больше числа всех сочетаний из n по m, так как из каждого подмножества из m элементов с помощью перестановок можно получить m! упорядоченных подмножеств, получаем формулу для числа размещений

(6)

Пример 7. В группе 25 человек. Нужно выбрать актив группы: старосту, заместителя старосты и профорга. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Актив группы - это упорядоченное подмножество из трех элементов, так как надо выбрать не только трех человек, но и распределить между ними должности, значит актив группы - это размещение, число всех размещений вычисляем по формуле (6): .Вопрос. Во сколько раз число сочетаний из 20 по 4 меньше числа размещений из 20 по 4?

Размещения с повторениями

Пусть дано множество из n элементов, в котором есть одинаковые элементы, тогда его подмножества тоже могут содержать одинаковые элементы. Определение 8. Упорядоченные m- элементные подмножества n- элементного множества, в которых элементы могут повторяться, называются размещениями с повторениями. - число всех размещений из n по m. В подмножестве из m элементов первый элемент можно выбрать n способами(то есть любой элемент множества) , так как элементы могут повторяться, то второй элемент тоже можно выбрать n способами, аналогично остальные элементы подмножества можно выбрать n способами, если воспользоваться правилом умножения, получим формулу для вычисления числа размещений с повторениями:

Пример 8. В лифт десятиэтажного дома вошли 5 человек. Каждый из них может выйти на любом этаже, начиная со второго. Сколькими способами они могут это сделать? Решение. Так как каждый человек может выйти на любом этаже, начиная со второго, то этажей для выхода 9. Надо выбрать этажи для возможности выхода каждого человека: для первого человека - можно выбрать любой из девяти этажей, аналогично для остальных пассажиров, тогда по формуле (7): способов.Вопрос. Вычислить .

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика - раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В - n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Решение

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n 1 способами, второе действие n 2 способами, третье - n 3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

способами.

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Решение

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

.

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение.

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно вы б рать и разместить по m различным местам m из n предметов, с реди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера- составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Перестановки без повторений . Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Решение

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы.

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Решение

Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ "КОМБИНАТОРИКА"

Перестановка – это комбинация элементов из N разных элементов взятых в определенном порядке. В перестановке важен порядок следования элементов, и в перестановке должны быть задействованы все N элементов.

Задача : Найти все возможные перестановки для последовательности чисел 1, 2, 3.
Существуют следующие перестановки:

1: 1 2 3
2: 1 3 2
3: 2 1 3
4: 2 3 1
5: 3 1 2
6: 3 2 1

Перестановки без повторений

Количество перестановок для N различных элементов составляет N! . Действительно:

• на первое место может быть помещен любой из N элементов (всего вариантов N ),
• на вторую позицию может быть помещен любой из оставшихся (N-1) элементов (итого вариантов N·(N-1) ),
• если продолжить данную последовательность для всех N мест, то получим: N·(N-1)·(N-2)· … ·1 , то есть всего N! перестановок.

Рассмотрим задачу получения всех перестановок чисел 1…N (то есть последовательности длины N ), где каждое из чисел входит ровно по 1 разу. Существует множество вариантов порядка получения перестановок. Однако наиболее часто решается задача генерации перестановок в лексикографическом порядке (см. пример выше). При этом все перестановки сортируются сначала по первому числу, затем по второму и т.д. в порядке возрастания. Таким образом, первой будет перестановка 1 2 … N , а последней — N N-1 … 1 .

Рассмотрим алгоритм решения задачи. Дана исходная последовательность чисел. Для получения каждой следующей перестановки необходимо выполнить следующие шаги:

• Необходимо просмотреть текущую перестановку справа налево и при этом следить за тем, чтобы каждый следующий элемент перестановки (элемент с большим номером) был не более чем предыдущий (элемент с меньшим номером). Как только данное соотношение будет нарушено необходимо остановиться и отметить текущее число (позиция 1).
• Снова просмотреть пройденный путь справа налево пока не дойдем до первого числа, которое больше чем отмеченное на предыдущем шаге.
• Поменять местами два полученных элемента.
• Теперь в части массива, которая размещена справа от позиции 1 надо отсортировать все числа в порядке возрастания. Поскольку до этого они все были уже записаны в порядке убывания необходимо эту часть подпоследовательность просто перевернуть.

Таким образом мы получим новую последовательность, которая будет рассматриваться в качестве исходной на следующем шаге.

Реализация на С++

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45

#include
using namespace std;

{
int s = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = s;
}
bool NextSet(int *a, int n)
{
int j = n - 2;
while (j != -1 && a[j] >= a) j--;
if (j == -1)
return false; // больше перестановок нет
int k = n - 1;
while (a[j] >= a[k]) k--;
swap(a, j, k);
int l = j + 1, r = n - 1;
while (l swap(a, l++, r--);
return true;
}
void Print(int *a, int n) // вывод перестановки
{
static int num = 1; // номер перестановки
cout.width(3);
cout << num++ << ": " ;
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << a[i] << " " ;
cout << endl;
}
int main()
{
int n, *a;
cout << "N = " ;
cin >> n;
a = new int [n];
for (int i = 0; i < n; i++)
a[i] = i + 1;
Print(a, n);
while (NextSet(a, n))
Print(a, n);
cin.get(); cin.get();
return 0;
}

Результат выполнения

Перестановки с повторениями

Особого внимания заслуживает задача генерации перестановок N элементов в случае если элементы последовательности могут повторяться. Допустим, исходная последовательность состоит из элементов n 1 , n 2 ... n k , где элемент n 1 повторяется r 1 раз, n 2 повторяется r 2 раз и т.д. При этом n 1 +n 2 +...+n k =N . Если мы будем считать все n 1 +n 2 +...+n k элементов перестановки с повторениями различными, то всего различных вариантов перестановок (n 1 +n 2 +...+n k)! . Однако среди этих перестановок не все различны. В самом деле, все r 1 элементов n 1 мы можем переставлять местами друг с другом, и от этого перестановка не изменится. Точно так же, можем переставлять элементы n 2 , n 3 и т. д. В итоге имеем r 1 ! вариантов записи одной и той же перестановки с различным расположением повторяющихся элементов n 1 . Таким образом, всякая перестановка может быть записана r 1 !·r 2 !·...·r k ! способами. Следовательно, число различных перестановок с повторениями равно

Для генерации перестановок с повторениями можно использовать алгоритм генерации перестановок без повторений, приведенный выше. Введем повторяющийся элемент в массив a. Ниже приведен код программы для генерации перестановок с повторениями (изменен только код функции main() ).

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46

#include
using namespace std;
void swap(int *a, int i, int j)
{
int s = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = s;
}
bool NextSet(int *a, int n)
{
int j = n - 2;
while (j != -1 && a[j] >= a) j--;
if (j == -1)
return false; // больше перестановок нет
int k = n - 1;
while (a[j] >= a[k]) k--;
swap(a, j, k);
int l = j + 1, r = n - 1; // сортируем оставшуюся часть последовательности
while (l swap(a, l++, r--);
return true;
}
void Print(int *a, int n) // вывод перестановки
{
static int num = 1; // номер перестановки
cout.width(3); // ширина поля вывода номера перестановки
cout << num++ << ": " ;
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << a[i] << " " ;
cout << endl;
}
int main()
{
int n, *a;
cout << "N = " ;
cin >> n;
a = new int [n];
for (int i = 0; i < n; i++)
a[i] = i + 1;
a = 1; // повторяющийся элемент
Print(a, n);
while (NextSet(a, n))
Print(a, n);
cin.get(); cin.get();
return 0;
}

Результат работы приведенного выше алгоритма:

Число размещений без повторений из n по k n k различными координатами.

Число размещений без повторений находится по формуле:

Пример: Сколькими способами можно построить 3-значное число с различными цифрами, не содержащее цифры 0?

Количество цифр
, размерность вектора с различными координатами

Число размещений с повторениями

Число размещений с повторениями из n по k – это число способов, сколькими можно из n различных элементов построить векторов с k координатами, среди которых могут быть одинаковые.

Число размещений с повторениями находится по формуле:

.

Пример: Сколько слов длины 6 можно составить из 26 букв латинского алфавита?

Количество букв
, размерность вектора

Число перестановок без повторений

Число перестановок без повторений из n элементов – это число способов, сколькими можно расположить на n различных местах n различных элементов.

Число перестановок без повторений находится по формуле:

.

Замечание: Мощность искомого множества А удобно искать по формуле:
, гдех – число способов выбрать нужные места; у – число способов расположить на них нужные элементы; z – число способов расположить остальные элементы на оставшихся местах.

Пример. Сколькими способами можно расставить на книжной полке 5 различных книг? В скольких случаях две определенные книги А и В окажутся рядом?

Всего способов расставить 5 книг на 5-ти местах – равно = 5! = 120.

В задаче х – число способов выбрать два места рядом, х = 4; у – число способов расположить две книги на двух местах, у = 2! = 2; z – число способов расположить остальные 3 книги на оставшихся 3-х местах, z = 3! = 6. Значит
= 48.

Число сочетаний без повторений

Число сочетаний без повторений из n по k – это число способов, сколькими можно из n различных элементов выбрать k штук без учета порядка.

Число сочетаний без повторений находится по формуле:

.

Свойства:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
; 5)
; 6)
.

Пример. В урне 7 шаров. Из них 3 белых. Наугад выбирают 3 шара. Сколькими способами это можно сделать? В скольких случаях среди них будет ровно один белый.

Всего способов
. Чтобы получить число способов выбрать 1 белый шар (из 3-х белых) и 2 черных шара (из 4-х черных), надо перемножить
и
Таким образом искомое количество способов

Упражнения

1. Из 35 учащихся класс по итогам года имели “5” по математике – 14 человек; по физике – 15 человек; по химии – 18 человек; по математике и физике – 7 человек; по математике и химии – 9 человек; по физике и химии – 6 человек; по всем трем предметам – 4 человек. Сколько человек имеют “5” по указанным предметам? Сколько человек не имеет “5” по указанным предметам? Имеет “5” только по математике? Имеет “5” только по двум предметам?

2. В группе из 30 студентов каждый знает, по крайней мере, один иностранный язык – английский или немецкий. Английский знают 22 студента, немецкий – 17. Сколько студентов знают оба языка? Сколько студентов знают немецкий язык, но не знают английский?

3. В 20 комнатах общежития института Дружбы Народов живут студенты из России; в 15 – из Африки; в 20 – из стран Южной Америки. Причем в 7 – живут россияне и африканцы, в 8 – россияне и южноамериканцы; в 9 – африканцы и южноамериканцы; в 3 – и россияне, и южноамериканцы, и африканцы. В скольких комнатах живут студенты: 1) только с одного континента; 2) только с двух континентов; 3) только африканцы.

4. Каждый из 500 студентов обязан посещать хотя бы один из трех спецкурсов: по математике, физике и астрономии. Три спецкурса посещают 10 студентов, по математике и физике – 30 студентов, по математике и астрономии – 25; спецкурс только по физике – 80 студентов. Известно также, что спецкурс по математике посещают 345 студентов, по физике – 145, по астрономии – 100 студентов. Сколько студентов посещают спецкурс только по астрономии? Сколько студентов посещают два спецкурса?

5. Староста курса представил следующий отчет по физкультурной работе. Всего – 45 студентов. Футбольная секция – 25 человек, баскетбольная секция – 30 человек, шахматная секция – 28 человек. При этом, 16 человек одновременно посещают футбольную и баскетбольную секции, 18 – футбольную и шахматную, 17 – баскетбольную и шахматную, 15 человек посещают все три секции. Объясните, почему отчет не был принят.

6. В аквариуме 11 рыбок. Из них 4 красных, остальные золотые. Наугад выбирают 4 рыбки. Сколькими способами это можно сделать? Найти число способов сделать это так, чтобы среди них будет: 1) ровно одна красная; 2) ровно 2 золотых; 3) хотя бы одна красная.

7. В списке 8 фамилий. Из них 4 – женские. Сколькими способами их можно разделить на две равные группы так, чтоб в каждой была женская фамилия?

8. Из колоды в 36 карт выбирают 4 . Сколько способов сделать это так, чтобы: 1) все карты были разных мастей; 2) все карты были одной масти; 3) 2 красные и 2 черные.

9. На карточках разрезной азбуки даны буквы К, К, К, У, У, А, Е, Р. Сколько способов сложить их в ряд так, что бы получилось «кукареку».

10. Даны карточки разрезанной азбуки с буквами О, Т, О, Л, О, Р, И, Н, Г, О, Л, О, Г. Сколько способов сложить их так, что бы получилось слово «отолоринголог».

11. Даны карточки нарезной азбуки с буквами Л, И, Т, Е, Р, А, Т, У, Р, А. Сколько способов сложить их в ряд так, что бы получилось слово «литература».

12. 8 человек становятся в очередь. Сколько способов сделать это так, что бы два определенных человека А и Б оказались: 1) рядом; 2) на краях очереди;

13. 10 человек садятся за круглый стол на 10 мест. Сколькими способами это можно сделать так, чтоб рядом оказались: 1) два определенных человека А и Б; 2) три определенных человека А, Б и С.

14. Из 10 арабских цифр составляют 5-значный код. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы: 1) все цифры были разными; 2) на последнем месте четная цифра.

15. Из 26 букв латинского алфавита (среди них 6 гласных) составляется шестибуквенное слово. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы в слове были: 1) ровно одна буква «а»; 2) ровно одна гласная буква; ровно две буквы «а»; в) ровно две гласные.

16. Сколько четырехзначных чисел делятся на 5?

17. Сколько четырехзначных чисел с различными цифрами делятся на 25?

19. Брошены 3 игральные кости. В скольких случаях выпала: 1) ровно 1 «шестерка»; 2) хотя бы одна «шестерка».

20. Брошены 3 игральные кости. В скольких случаях будет: 1) все разные; 2) ровно два одинаковых числа очков.

21. Сколько слов с различными буквами можно составить из алфавита а, в, с, d. Перечислить их все в лексикографическом порядке: abcd, abcd….

Комбинаторика — раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторика возникла в XVI веке. Первые комбинаторные задачи касались азартных игр. Сегодня комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, составления планов производства и реализации продукции. Установлены связи между комбинаторикой и задачами линейного программирования, статистики. Комбинаторика используется для составления и декодирования шифров, для решения других проблем теории информации.

Значительную роль комбинаторные методы играют и в чисто математических вопросах — теории групп и их представлений, изучении основ геометрии, неассоциативных алгебр и др.

Пример комбинаторной задачи. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

I способ. Постараемся выписать все такие числа. На первом месте может стоять любая цифра кроме 0. Например, 2. На втором месте любая цифра из 0, 4, 6 и 8. Пусть 0. Тогда в качестве третьей цифры можно выбрать любую из 4, 6, 8. Получаем три числа

Вместо 0 на второе место можно было поставить 4, тогда третье цифрой можно записать или 0, или 6, или 8:

Рассуждая аналогично, получаем ещё две тройки трёхзначных чисел с цифрой 2 на первом месте:

Других, кроме выписанных 12-ти, трёхзначных чисел с цифрой 2 на первом месте, и удовлетворяющих условию, нет.

Если на первом месте записать цифру 4, а остальные выбирать из цифр 0, 2, 6, 8, то получим ещё 12 чисел:

По столько же трёхзначных чисел можно составить с цифрой 6 на первом месте и цифрой 8 на первом месте. Значит, искомое количество:

Вот эти числа:

204, 206, 208, 240, 246, 248, 260, 264, 268, 280, 284, 286;

402, 406, 408, 420, 426, 428, 460, 462, 468, 480, 482, 486;

602, 604, 608, 620, 624, 628, 640, 642, 648, 680, 682, 684;

802, 804, 806, 820, 824, 826, 840, 842, 846, 860, 862, 864.

Ответ: 48. ◄

Метод рассуждения, которым мы воспользовались при решении предыдущей задачи, называется перебором возможных вариантов .

Правила сложения и умножения

Комбинаторное правило сложения (правило "или") — одно из основных правил комбинаторики, утверждающее, что, если имеется n элементов и элемент A 1 можно выбрать m 1 способами, элемент A 2 можно выбрать m 2 A n можно выбрать m n способами, то выбрать или A 1 , или A 2 , или, и так далее, A n можно

m 1 + m 2 + ... + m n

способами.

Например, выбрать подарок ребёнку из 9 машинок, 7 плюшевых медведей и 3 железных дорог можно

способами.

Ответ: 19. ◄

Правило умножения (правило "и") — ещё одно из важных правил комбинаторики. Согласно ему, если элемент A 1 можно выбрать m 1 способами, элемент A 2 можно выбрать m 2 способами и так далее, элемент A n можно выбрать m n способами, то набор элементов (A 1 , A 2 , ... , A n ) можно выбрать

m 1 · m 2 · ... · m n

способами.

Например.

1) Выбрать ребёнку в подарок машинку, плюшевого медведя и железную дорогу, выбирая из 9 машинок, 7 плюшевых медведей и 3 железных дорог, можно

9 · 7 · 3 = 189

способами.

Ответ: 189.

2) Воспользуемся правилом умножения для решения задачи, уже рассмотренной выше: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

II способ.

0 не может стоять первым, значит первую цифру нужно выбрать из 2, 4, 6, 8 — 4 способа;

второй цифрой может быть любая из четырёх оставшихся — 4 способа;

третью цифру можно выбрать среди трёх оставшихся — 3 способа.

Итак, искомое количество трёхзначных чисел:

4 · 4 · 3 = 48.

Ответ: 48. ◄

Перестановки

Множество из n элементов называется упорядоченным , если каждому его элементу поставлено в соответствие натуральное число от 1 до n .

Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество из n элементов.

Например, из 4 элементов ♦ ♣ ♠ можно составить следующие 24 перестановки:

♦ ♣ ♠	♦ ♣ ♠	♣ ♦ ♠	♠ ♦ ♣
♦ ♠ ♣	♦ ♠ ♣	♣ ♦ ♠	♠ ♦ ♣
♦ ♣ ♠	♣ ♦ ♠	♣ ♦ ♠	♠ ♦ ♣
♦ ♣ ♠	♣ ♠ ♦	♣ ♠ ♦	♠ ♣ ♦
♦ ♠ ♣	♠ ♦ ♣	♣ ♠ ♦	♠ ♣ ♦
♦ ♠ ♣	♠ ♣ ♦	♣ ♠ ♦	♠ ♣ ♦

◄

Количество перестановок из n элементов принято обозначать P n . С помощью перебора возможных вариантов легко убедиться, в том что

P 1 = 1; P 2 = 2; P 3 = 6; P 4 = 24.

Вообще, число всевозможных перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n , то есть n ! (читается "эн факториал"):

P n = 1 · 2 · 3 · ... · (n - 1 ) · n = n !.

Для P n справедлива рекуррентная формула:

P n = n · P n - 1 .

Значение факториала определено не только для натуральных чисел, но и для 0:

0! = 1 .

Таблица факториалов целых чисел от 0 до 10
n		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n !	1	1	2	6	24	120	720	5 040	40 320	362 880	3 628 800

Например, сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре места в одном ряду с 1-го по 10-е место, если никакие два мальчика и никакие две девочки не сидят рядом?

Возможны два случая с одинаковым количеством способов: 1) мальчики — на нечётных местах, девочки на чётных и 2) наоборот.

Рассмотрим первый случай. Мальчики по нечётным местам могут сесть

P 5 = 120

способами. Столько способов и для девочек на чётных местах. Согласно правилу умножения, мальчики — на нечётных местах, девочки на чётных могут расположиться

120 · 120 = 14 400

способами. Значит, всего способов

14 400 + 14 400 = 28 800.

Ответ: 28 800. ◄

Перестановки с повторениями

Перестановкой с повторениями из n элементов, среди которых k разных, при этом насчитывается n 1 неразличимых элементов первого типа, n 2 неразличимых элементов второго типа и так далее, n k неразличимых элементов k -го типа (где n 1 + n 2 + … + n k = n ), называется любое расположение этих элементов по n различным местам.

Число перестановок с повторениями длины n из k разных элементов, взятых соответственно по n 1 , n 2 , …, n k раз каждый обозначается и вычисляется следующим образом:$$P_{n_1,n_2, ... , n_k}=\frac{n!}{n_1!n_2! ... n_k!}~.$$

Например, сколько различных десятизначных чисел можно составить из цифр: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4?

В данном случае: n = 10, n 1 = 1, n 2 = 2, n 3 = 3, n 4 = 4,$$P_{1, 2, 3, 4}=\frac{10!}{1!2! 3! 4!}=\frac{10!}{1!2! 3! 4!}=12~600.$$

Ответ: 12 600. ◄

Размещения

Размещением из n элементов по m (m ≤ n) m элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.

Два размещения из n элементов по m считаются различными, если они различаются самими элементами или порядком их расположения.

Например, составим все размещения из четырёх элементов A, B, C, D по два элемента:

A B; A C;A D;

B A; B C; B D;

C A; C В; C D;

D A; D В; D C.

◄

Число всех размещений из n элементов по m обозначают \(A_n^m\) (читается: "А из n по m ") и вычисляется по любой из формул:$$A_n^m=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot (n-m+1)\\A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$

Примеры задач.

1) Воспользуемся понятием размещений из n элементов по m для решения задачи, уже дважды рассмотренной ранее: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

II I способ.

Первую цифру можно выбрать четырьмя способами из набора 2, 4, 6, 8. В каждом из этих случаев количество пар второй и третей цифры равно числу размещений из 4 оставшихся цифр по 2. Значит искомое количество трёхзначных чисел равно:$$4\cdot A_4^2=4\cdot \frac{4!}{(4-2)!}=4\cdot \frac{4!}{2!}=4\cdot (3\cdot 4)=48.$$Ответ: 48.

2) Для полёта в космос необходимо укомплектовать экипаж из шести человек. В него должны входить: командир корабля, первый и второй его помощники, два бортинженера, один из которых старший, и один врач. Командный состав выбирается из 20 лётчиков, бортинженеры — из 15 специалистов, а врач — из 5 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж?

Поскольку в выборе командного состава важен порядок, то командира и двух его помощников можно выбрать \(A_{20}^3\) способами. Порядок бортинженеров тоже важен, значит, для их выбора существует \(A_{15}^2\) способов. Врач всего один, для его выбора существует 5 способов. Воспользуемся комбинаторным правилом умножения и найдём количество возможных экипажей корабля:$$A_{20}^3\cdot A_{15}^2\cdot 5=\frac{20!}{17!}\cdot \frac{15!}{13!}\cdot 5=(18\cdot 19\cdot 20)\cdot (14\cdot 15)\cdot 5=7~182~000.$$Ответ: 7 182 000. ◄

Понятно, что, если m = n , то$$A_n^m=A_n^n=P_n=n!.$$

Справедливо также, что, если m = n - 1 , то$$A_n^{n-1}=A_n^n=P_n=n!.$$

Размещения с повторениями

Помимо обычных размещений бывают и размещения с повторениями или выборки с возвращением .

Пусть имеется n различных объектов. Выберем из них m штук, действуя по следующему принципу. Возьмём любой, но не будем его устанавливать в какой-то ряд, а просто запишем под номером 1 его название, сам же объект после этого вернём к остальным. Затем опять из всех n объектов выберем один (в том числе, возможно, и тот, который был только что взят), запишем его название, пометив номером 2, и снова вернём объект обратно. И так далее, пока не получим m названий.

Размещения с повторениями обозначаются \(\overline{A}_n^m\) и, согласно правилу умножения, вычисляются по формуле$$\overline{A}_n^m=n^m.$$Заметим, что здесь допустим случай, когда m > n , то есть выбранных объектов больше, чем их всего имеется. Это неудивительно: каждый объект после "использования" возвращается обратно и может быть использован повторно.

Например, количество вариантов шестизначного пароля, в котором каждый знак является цифрой от 0 до 9 или буквой латинского алфавита (одна и та же строчная и прописная буква — один символ) и может повторяться, равно:$$\overline{A}_{10+26}^6=\overline{A}_{36}^6=36^6=2~176~782~336.$$Если же строчные и прописные буквы считаются различными символами (как это обычно и бывает), то количество возможных паролей становится ещё более колоссальным:$$\overline{A}_{10+26+26}^6=\overline{A}_{62}^6=62^6=56~800~235~584.$$

◄

Сочетания

Сочетанием из n элементов по m (m ≤ n) называется любое множество, состоящее из m элементов, выбранных из данных n элементов.

В отличии от размещений в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания из n элементов по m считаются различными, если они различаются хотя бы одним элементом.

Например, составим все сочетания из четырёх элементов A, B, C, D по два элемента:

A B; A C;A D;

B C; B D;

C D .

◄

Число всех сочетаний из n элементов по m обозначают \(C_n^m\) (читается: "C из n по m ") и вычисляется по любой из формул:$$C_n^m=\frac{A_n^m}{P_m}$$$$C_n^m=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)~\cdot~ ...~\cdot~ (n-m+1)}{1\cdot2\cdot3~\cdot~...~\cdot ~m}$$$$C_n^m=\frac{n!}{m!\cdot (n-m)!}.$$

Примеры задач.

1) Бригада, занимающаяся ремонтом школы, состоит из 12 маляров и 5 плотников. Из них для ремонта физкультурного зала надо выделить 4 маляров и 2 плотников. Сколькими способами можно это сделать?

Так как порядок маляров в каждой выбранной четвёрке и порядок плотников в каждой выбранной паре не имеет значения, то, согласно комбинаторному правилу умножения, искомое количество способов равно:$$C_{12}^4 \cdot C_5^2 =\frac{12!}{4!\cdot 8!}\cdot \frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{9\cdot10\cdot11\cdot12}{1\cdot2\cdot3\cdot4}\cdot \frac{4\cdot5}{1\cdot 2}=4~950.$$Ответ: 4 950. ◄

2) В классе обучаются 30 учащихся, среди которых 13 мальчиков и 17 девочек. Сколькими способами можно сформировать команду из 7 учащихся этого класса, если в неё должна входить хотя бы одна девочка?

Количество всех возможных команд по 7 человек из класса равно \(C_{30}^7\). Количество команд в которых только мальчики — \(C_{13}^7\). Значит, количество команд, в которых есть хотя бы одна девочка, равно:$$C_{30}^7 - C_{13}^7 =\frac{30!}{7!\cdot 23!} - \frac{13!}{7!\cdot 6!}=2~035~800-1~716=2~034~084.$$Ответ: 2 034 084. ◄

Сочетания с повторениями

Помимо обычных сочетаний рассматривают сочетания с повторениями .

Пусть в множестве имеется n объектов. Выберем из них m штук, действуя по следующему принципу. Возьмём любой, но не будем его устанавливать в какой-то ряд, а просто запишем, сам же объект после этого вернём к остальным. Затем опять из всех n объектов выберем один (в том числе, возможно, и тот, который был взят и записан ранее), запишем его название и снова вернём объект обратно. И так далее, пока не получим m названий.

Принципиальное отличие от размещений с повторениями заключается в том, что в данном случае элементы списка не нумеруются. Например, список "A, С, A, В" и список "А, А, В, С" считаются одинаковыми.

Сочетания с повторениями обозначаются \(\overline{C}_n^m\) и вычисляются по формуле$$\overline{C}_n^m=P_{m,~n-1}=\frac{(m+n-1)!}{m!\cdot (n-1)!}.$$И ещё один способ записи той же формулы:$$\overline{C}_n^m=C_{m+n-1}^m=\frac{(m+n-1)!}{m!\cdot (n-1)!}.$$Заметим, что подобно размещениям с повторениями, допустим случай, когда m > n , то есть выбранных объектов больше, чем их всего имеется. Действительно, каждый объект после "использования" возвращается обратно и может быть использован снова и снова.

Например, выясним сколькими способами можно купить 7 пирожных в кондитерском отделе, если в продаже 4 их сорта?

Естественно полагать, что количество пирожных каждого вида не меньше 7, и при желании можно купить только пирожные одного из них. Так как порядок в котором кладут купленные пирожные в коробку не важен, то имеем дело с сочетаниями с повторениями. Так как нужно выбрать 7 пирожных из 4 его видов, то искомое количество способов равно:$$\overline{C}_4^7=\frac{(7+4-1)!}{7!\cdot (4-1)!}=\frac{10!}{7!\cdot 3!}=\frac{8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3}=120.$$

Ответ: 120. ◄

Бином Ньютона и биномиальные коэффициенты

Равенство$$(x+a)^n=C_n^0x^na^0+C_n^1x^{n-1}a^1+...+C_n^mx^{n-m}a^m+...+C_n^nx^0a^n$$называют биномом Ньютона или формулой Ньютона . Правая часть равенства называется биномиальным разложением в сумму , а коэффициенты \(C_n^0,~C_n^1,~...~,~C_n^n\) — биномиальными коэффициентами .

Свойства биномиальных коэффициентов:

\(~~~~~~~~1.~~C_n^0=C_n^n=1\\ ~~~~~~~~2.~~C_n^m=C_n^{n-m}\\ ~~~~~~~~3.~~C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}\\ ~~~~~~~~4.~~C_n^0+C_n^1+C_n^2+~...~+C_n^n=2^n\\ ~~~~~~~~5.~~C_n^0+C_n^2+C_n^4+~... =C_n^1+C_n^3+C_n^5+~...=2^{n-1}\\ ~~~~~~~~6.~~C_n^n+C_{n+1}^n+C_{n+2}^n+~...~+C_{n+m-1}^n=C_{n+m}^{n+1}\\ \)

Свойства биномиального разложения:

1. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома,

то есть равно n + 1 .

2. Сумма показателей степеней x и a каждого члена разложения равна показателю степени бинома,

то есть (n - m) + m = n .

3. Общий член разложения (обозначается T n +1 ) имеет вид$$T_{n+1}=C_n^m x^{n-m}a^m,~~~~m=0,~1,~2,~...~,~n.$$

Треугольник Паскаля

Все возможные значения биномиальных коэффициентов (числа сочетаний) для каждого показателя степени бинома n можно записать в виде бесконечной треугольной таблицы. Такая таблица называется треугольником Паскаля:

					\(C_0^0\)
				\(C_1^0\)		\(C_1^1\)
			\(C_2^0\)		\(C_2^1\)		\(C_2^2\)
		\(C_3^0\)		\(C_3^1\)		\(C_3^2\)		\(C_3^3\)
	\(C_4^0\)		\(C_4^1\)		\(C_4^2\)		\(C_4^3\)		\(C_4^4\)
\(C_5^0\)		\(C_5^1\)		\(C_5^2\)		\(C_5^3\)		\(C_5^4\)		\(C_5^5\)
	. . .				. . .				. . .

В этом треугольнике крайние числа в каждой строке равны 1. Действительно, \(C_n^0=C_n^n=1\). А каждое не крайнее число равно сумме двух чисел предыдущей строки, стоящих над ним: \(C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}\).

Таким образом, этот треугольник предлагает ещё один (рекуррентный) способ вычисления чисел \(C_n^m\):

n = 0									1
n = 1								1		1
n = 2							1		2		1
n = 3						1		3		3		1
n = 4					1		4		6		4		1
n = 5				1		5		10		10		5		1
n = 6			1		6		15		20		15		6		1
n = 7		1		7		21		35		35		21		7		1
n = 8	1		8		28		56		70		56		28		8		1
...				...				...		...				...