Презентация «Функция y=ax 2 , ее график и свойства» является наглядным пособием, которое создано для сопровождения объяснения учителя по данной теме. В данной презентации подробно рассматривается квадратичная функция, ее свойства, особенности построения графика, практическое приложение используемых методов решения задач в физике.
Предоставляя высокую степень наглядности, данный материал поможет учителю повысить эффективность обучения, даст возможность более рационально распределить время на уроке. При помощи анимационных эффектов, выделения понятий и важных моментов цветом, внимание учеников акцентируется на изучаемом предмете, достигается лучшее запоминание определений и хода рассуждения при решении задач.
Презентация начинается с ознакомления с названием презентации и понятием квадратичной функции. Подчеркивается важность данной темы. Ученикам предлагается запомнить определение квадратичной функции как функциональной зависимости вида y=ax 2 +bx+c, в которой является независимой переменной, а - числа, при этом a≠0. Отдельно на слайде 4 отмечается для запоминания, что областью определения данной функции является вся ось действительных значений. Условно данное утверждения обозначается D(x)=R.
Примером квадратичной функции является важное ее приложение в физике - формула зависимости пути при равноускоренном движении от времени. Параллельно на уроках физики ученики изучают формулы различных видов движения, поэтому умение решать подобные задачи им будет необходимо. На слайде 5 ученикам напоминается, что при движении тела с ускорением и на начало отсчета времени известен пройденный путь и скорость движения, то функциональная зависимость, представляющая такое движение, будет выражаться формулой S=(at 2)/2+v 0 t+S 0 . Ниже приводится пример превращения данной формулы в заданную квадратичную функцию, если значения ускорения =8, начальной скорости =3 и начального пути =18. В этом случае функция приобретет вид S=4t 2 +3t+18.
На слайде 6 рассматривается вид квадратичной функции y=ax 2 , в котором она представляется при. Если же =1, то квадратичная функция имеет вид y=x 2 . Отмечается, что графиком данной функции будет парабола.
Следующая часть презентации посвящена построению графика квадратичной функции. Предлагается рассмотреть построение графика функции y=3x 2 . Сначала в таблице отмечается соответствие значений функции значениям аргумента. Отмечается, что отличие построенного графика функции y=3x 2 от графика функции y=x 2 в том, что каждое значение ее будет больше соответствующего в три раза. В табличном представлении эта разница хорошо отслеживается. Рядом в графическом представлении также хорошо заметна разница в сужении параболы.
На следующем слайде рассматривается построение графика квадратичной функции y=1/3 x 2 . Для построения графика необходимо в таблице указать значения функции в ряде ее точек. Отмечается, что каждое значение функции y=1/3 x 2 меньше соответствующего значения функции y=x 2 в 3 раза. Данная разница, кроме таблицы, хорошо видна и на графике. Ее парабола более расширена относительно оси ординат, чем парабола функции y=x 2 .
Примеры помогают усвоить общее правило, согласно которому можно затем более просто и быстро производить построение соответствующих графиков. На слайде 9 выделено отдельно правило, что график квадратичной функции y=ax 2 можно построить в зависимости от значения коэффициента растяжением или сужением графика. Если a>1, то график растягивается от оси х в раз. Если же 0 Вывод о симметричности графиков функций y=ax 2 и y=-ax2 (при ≠0) относительно оси абсцисс отдельно выделен на слайде 12 для запоминания и наглядно отображен на соответствующем графике. Далее понятие о графике квадратичной функции y=x 2 распространяется на более общий случай функции y=ax 2 , утверждая, что такой график также будет называться параболой. На слайде 14 рассматриваются свойства квадратичной функции y=ax 2 при положительном. Отмечается, что ее график проходит через начало координат, а все точки, кроме, лежат в верхней полуплоскости. Отмечена симметричность графика относительно оси ординат, уточняя, что противоположным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции. Указано, что промежуток убывания данной функции (-∞;0], а возрастание функции выполняется на промежутке. Значения данной функции охватывают всю положительную часть действительной оси, нулю она равна в точке, а наибольшего значения не имеет. На слайде 15 описываются свойства функции y=ax 2 , если отрицательный. Отмечается, что ее график также проходит через начало координат, но все его точки, кроме, лежат в нижней полуплоскости. Отмечена симметричность графика относительно оси, и противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. Возрастает функция на промежутке, убывает на. Значения данной функции лежат в промежутке, нулю она равна в точке, а наименьшего значения не имеет. Обобщая рассмотренные характеристики, на слайде 16 выводится, что ветви параболы направлены вниз при, а вверх - при. Парабола симметрична относительно оси, а вершина параболы располагается в точке ее пересечения с осью. У параболы y=ax 2 вершина - начало координат. Также важный вывод о преобразованиях параболы отображается на слайде 17. На нем представлены варианты преобразований графика квадратичной функции. Отмечено, что график функции y=ax 2 преобразуется симметричным отображением графика относительно оси. Также возможно сжатие или растяжение графика относительно оси. На последнем слайде делаются обобщающие выводы о преобразованиях графика функции. Представлены выводы о том, что график функции получается симметрическим преобразованием относительно оси. А график функции получается из сжатием или растяжением исходного графика от оси. При этом растяжение от оси в раз наблюдается в случае, когда. Сжатием к оси в 1/a раз график образуется в случае. Презентация «Функция y=ax 2 , ее график и свойства» может быть использована учителем в качестве наглядного пособия на уроке алгебры. Также данное пособие хорошо раскрывает тему, давая углубленное понимание предмета, поэтому может быть предложена для самостоятельного изучения учениками. Также данный материал поможет учителю дать объяснение в ходе дистанционного обучения. Дополнительные материалы
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Ребята, на последних уроках мы строили большое количество графиков, в том числе много парабол. Сегодня мы обобщим полученные знания и научимся строить графики этой функции в самом общем виде. Давайте рассмотрим функцию $y=a*x^2+b*x+c$. Это функция называется "квадратичной", потому что старшая степень вторая, то есть квадрат. Коэффициенты такие же, как определено выше. На прошлом уроке в последнем примере, мы разобрали построение графика схожей функции. График такой функции строится с использованием дополнительной системы координат.
В большой математике, числа встречаются довольно редко. Практически любую задачу требуется доказать в самом общем случае. Сегодня мы разберем одно из таких доказательств. Ребята, вы сможете, увидеть всю силу математического аппарата, но так же и его сложность. Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена: Для построения графика $y=a(x+l)^2+m$ нужно построить график функции $y=ax^2$. Причем вершина параболы будет находиться в точке с координатами $(-l;m)$. Пример 1. Решение. Решение. Существует множество способов, упрощающих построение графиков параболы. Пример 3. Решение. Урок по теме «Функция y=ax^2, ее график и свойства» изучается в курсе алгебры 9 класса в системе уроков по теме «Функции». Данный урок требует тщательной подготовки. А именно, таких методов и средств обучения, которые дадут поистине хорошие результаты. Автор данного видеоурока позаботился о том, чтобы помочь учителям при подготовке к урокам по этой теме. Он разработал видеоурок с учетом всех требований. Материал подобран по возрасту школьников. Он не перегружен, но достаточно емок. Автор подробно рассказывает материал, останавливаясь на более важных моментах. Каждый теоретический пункт сопровождается примером, чтобы восприятие учебного материала было гораздо эффективнее и качественнее. Урок может быть использован учителем на обычном уроке алгебры в 9 классе в качестве определенного этапа урока - объяснение нового материала. Учителю не придется в этот период ничего говорить или рассказывать. Ему достаточно включить этот видеоурок и следить за тем, чтобы обучающиеся внимательно слушали и записывали важные моменты. Урок может использоваться и школьниками при самостоятельной подготовке к уроку, а также для самообразования. Длительность урока составляет 8:17 минут. В начале урока автор замечает, что одной из важных функций является квадратичная функция. Затем вводится квадратичная функция с математической точки зрения. Дается ее определение с пояснениями. Далее автор знакомит обучающихся с областью определения квадратичной функции. На экране появляется правильная математическая запись. После этого автор рассматривает пример квадратичной функции на реальной ситуации: за основу взята физическая задача, где показано, как зависит путь от времени при равноускоренном движении. После этого автор рассматривает функцию y=3x^2. На экране появляется построение таблицы значений этой функции и функции y=x^2. Согласно данным этих таблиц строятся графики функций. Здесь же в рамке появляется пояснение, как получается график функции y=3x^2 из y=x^2. Рассмотрев два частных случая, примера функции y=ax^2, автор приходит к правилу, как получается график этой функции из графика y=x^2. Далее рассматривается функция y=ax^2, где a<0. И, подобно тому, как строились графики функций до этого, автор предлагает построить график функции y=-1/3 x^2. При этом он строит таблицу значений, строит графики функций y=-1/3 x^2 и, замечая при этом закономерность расположения графиков между собой. Затем из свойств выводятся следствия. Их четыре. Среди них появляется новое понятие - вершины параболы. Далее следует замечание, где говорится, какие преобразования возможны для графика данной функции. После этого говорится о том, как получается график функции y=-f(x) из графика функции y=f(x), а также y=af(x) из y=f(x). На этом урок, содержащий учебный материал заканчивается. Остается его закрепить, подобрав соответствующие задания в зависимости от способностей обучающихся. Решение.
График функции - парабола. Ветви этой параболы направлены вверх, если и вниз, если Значение определяет ординату вершины параболы. Если то вершина параболы находится над осью абсцисс, а если меньше нуля, то ниже. Таким образом, получаем, ответ: A - 4, Б - 1, В - 2, Г - 3. Ответ:
4123. Ответ: 4123
y = ax 2 + bx + c
a
и c
. Ответ: 431
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. Ответ: 143
На рисунке изображены графики функций вида y
= ax
2 + bx
+ c
a
и c
. Графики
Коэффициенты
Решение.
c
x
c
Таким образом, графикам соответствуют следующие коэффициенты: А - 1, Б - 3, В - 2. Ответ:
132. Ответ: 132
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. Ответ: 321
На рисунке изображены графики функций вида y
= ax
2 + bx
+ c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. Графики
Коэффициенты
Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 4, Б - 2, В - 3. Ответ:
423. Ответ: 423
На рисунках изображены графики функций вида y=ax +bx+c
. Установите соответствие между знаками коэффициентов a
и c
и графиками функций. КОЭФФИЦИЕНТЫ Решение.
График функции - парабола. Ветви этой параболы направлены вверх, если и вниз, если . Значение определяет ординату вершины параболы. Если , то вершина параболы находится над осью абсцисс, а если , то ниже. Таким образом, получаем ответ: A - 3, Б - 2, В - 1. Ответ:
321 Ответ: 321
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. КОЭФФИЦИЕНТЫ
ГРАФИКИ
Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Ответ:
321. Ответ: 321
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. КОЭФФИЦИЕНТЫ
ГРАФИКИ
Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Ответ:
231. Ответ: 231
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. ГРАФИКИ
КОЭФФИЦИЕНТЫ
Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Ответ:
123. Ответ: 123
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. ГРАФИКИ
КОЭФФИЦИЕНТЫ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Ответ:
312. Ответ: 312
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. КОЭФФИЦИЕНТЫ
ГРАФИКИ
Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Ответ:
132. Ответ: 132
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. КОЭФФИЦИЕНТЫ
ГРАФИКИ
Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2. Ответ:
132. Ответ: 132
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. КОЭФФИЦИЕНТЫ
ГРАФИКИ
Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 2, Б - 1, В - 3. Ответ:
213. Ответ: 213
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. ГРАФИКИ
КОЭФФИЦИЕНТЫ
Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 2, Б - 3, В - 1. Ответ:
231. Ответ: 231
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. ГРАФИКИ
КОЭФФИЦИЕНТЫ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2. Ответ:
312. Ответ: 312
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. ГРАФИКИ
КОЭФФИЦИЕНТЫ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 2, В - 3. Ответ:
123. Ответ: 123
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. ГРАФИКИ
КОЭФФИЦИЕНТЫ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 2, В - 1. Ответ:
321 Ответ: 321
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. ГРАФИКИ
КОЭФФИЦИЕНТЫ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2. Ответ:
312. Ответ: 312
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. ГРАФИКИ
КОЭФФИЦИЕНТЫ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2. Ответ:
312. Ответ: 312
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. КОЭФФИЦИЕНТЫ
ГРАФИКИ
Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2. Ответ:
132. Ответ: 132
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. ГРАФИКИ
КОЭФФИЦИЕНТЫ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2. Ответ:
312. Ответ: 312
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 2, В - 1. Ответ:
321. Ответ: 321
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. КОЭФФИЦИЕНТЫ
ГРАФИКИ
Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2. Ответ:
132. Ответ: 132
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. КОЭФФИЦИЕНТЫ
ГРАФИКИ
Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2. Ответ:
132. Ответ: 132
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. КОЭФФИЦИЕНТЫ
ГРАФИКИ
Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2. Ответ:
312. Ответ: 312
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. КОЭФФИЦИЕНТЫ
ГРАФИКИ
Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 2, В - 3. Ответ:
123. Ответ: 123
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c
. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a
и c
. КОЭФФИЦИЕНТЫ
ГРАФИКИ
Решение.
Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c
соответствует значению функции в точке x
= 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c
положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно. Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 2, В - 3.
Презентация и урок на тему:
"График функции $y=ax^2+bx+c$. Свойства"
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособие к учебнику Дорофеева Г.В.
Пособие к учебнику Никольского С.М.
Давайте рассмотрим квадратный трехчлен $a*x^2+b*x+c$. $а, b, c$ называются коэффициентами. Они могут быть любыми числами, но $а≠0$. $a*x^2$ называется старшим членом, $а$ – старшим коэффициентом. Стоит заметить, что коэффициенты $b$ и $c$ могут быть равными нулю, то есть трехчлен будет состоять из двух членов, а третий равен нулю.
Давайте докажем, что любую такую квадратичную функцию можно свести к виду: $y=a(x+l)^2+m$.
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac{b}{a}*x)+c=$
$=a(x^2+2\frac{b}{2a}*x+\frac{b^2}{4a})-\frac{b^2}{4a}+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$.
Мы получили, то что хотели.
Любую квадратичную функцию можно представить в виде:
$y=a(x+l)^2+m$, где $l=\frac{b}{2a}$, $m=\frac{4ac-b^2}{4a}$.
Итак, наша функция $y=a*x^2+b*x+c$ - парабола.
Осью параболы будет являться прямая $x=-\frac{b}{2a}$, причем координаты вершины параболы по оси абсцисс, как мы можем заметить, вычисляется формулой: $x_{в}=-\frac{b}{2a}$.
Для вычисления координаты вершины параболы по оси ординат, вы можете:
Как вычислять ординату вершины? Опять же выбор за вами, но обычно вторым способом посчитать будет проще.
Если требуется описать какие-то свойства или ответить на какие-то определенные вопросы, не всегда нужно строить график функции. Основные вопросы, на которые можно ответить без построения, рассмотрим в следующем примере.
Без построения графика функции $y=4x^2-6x-3$ ответьте на следующие вопросы:
а) Осью параболы служит прямая $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2*4}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.
б) Абсциссу вершины мы нашли выше $x_{в}=\frac{3}{4}$.
Ординату вершины найдем непосредственной подстановкой в исходную функцию:
$y_{в}=4*(\frac{3}{4})^2-6*\frac{3}{4}-3=\frac{9}{4}-\frac{18}{4}-\frac{12}{4}=-\frac{21}{4}$.
в) График, требуемой функции, получится параллельным переносом графика $y=4x^2$. Его ветви смотрят вверх, а значит и ветви параболы исходной функции также будет смотреть вверх.
Вообще, если коэффициент $а>0$, то ветви смотрят вверх, если коэффициент $a
Пример 2.
Построить график функции: $y=2x^2+4x-6$.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_{в}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{4}=-1$.
$y_{в}=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Отметим координату вершины на оси координат. В этой точке, как будто в новой системе координат построим параболу $y=2x^2$.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=-x^2+6x+4$
на отрезке $[-1;6]$.
Построим график данной функции, выделим требуемый промежуток и найдем самую нижнюю и самую высокую точки нашего графика.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_{в}=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{-2}=3$.
$y_{в}=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
В точке с координатами $(3;13)$ построим параболу $y=-x^2$.
Выделим требуемый промежуток.
Самая нижняя точка имеет координату -3, самая высокая точка - координату 13.
$y_{наим}=-3$; $y_{наиб}=13$.Задачи для самостоятельного решения
1. Без построения графика функции $y=-3x^2+12x-4$ ответьте на следующие вопросы:
а) Укажите прямую, служащую осью параболы.
б) Найдите координаты вершины.
в) Куда смотрит парабола (вверх или вниз)?
2. Построить график функции: $y=2x^2-6x+2$.
3. Построить график функции: $y=-x^2+8x-4$.
4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=x^2+4x-3$ на отрезке $[-5;2]$.
ГРАФИКИ
А)
Б)
В)
ГРАФИКИ
А)
Б)
В)
ГРАФИКИ
А)
Б)
В)
А)
Б)
В)
А
Б
В
А)
Б)
В)
А
Б
В
А)
Б)
В)
A
Б
В
А)
Б)
В)
А
Б
В
А)
Б)
В)
А
Б
В
А)
Б)
В)
A
Б
В
А)
Б)
В)
А
Б
В
А)
Б)
В)
А
Б
В
А)
Б)
В)
А
Б
В
КОЭФФИЦИЕНТЫ
А)
Б)
В)
А
Б
В
Новогодние торты – оригинальные идеи оформления десертов в новогоднем стиле!
Толкование сна шнурки в сонниках Снилось белый шнурок
Котенковские чтения Награды и звания