Дроби записанные в форме 0,8; 0,13; 2,856; 5,2; 0,04 называют десятичными. На самом деле десятичные дроби это упрощенная запись обычных дробей. Эту запись удобно использовать для всех дробей, у которых знаменатели равны 10, 100, 1000 и так далее.

Рассмотрим примеры (0,5 читают как, ноль целых пять десятых);

(0,15 читают как, ноль целых пятнадцать сотых);

(5,3 читают как, пять целых три десятых).

Обратим внимание, что в записи десятичной дроби запятая отделяет целую часть числа от дробной, целая часть правильной дроби рана 0. Запись дробной части десятичной дроби содержит столько цифр, сколько нулей в записи знаменателя соответствующей обыкновенной дроби.

Рассмотрим пример, , , .

В некоторых случаях бывает необходимо рассматривать натуральное число как десятичную дробь, у которой дробная часть равна нулю. Принято записывать что, 5 = 5,0; 245 = 245,0 и так далее. Заметим, что в десятичной записи натурального числа единица младшего разряда в 10 раз меньше единицы соседнего старшего разряда. Таким же свойством обладает запись десятичных дробей. Поэтому сразу после запятой идет разряд десятых, далее разряд сотых, затем разряд тысячных и так далее. Ниже приведены названия разрядов числа 31,85431 первые два столбца — целая часть, остальные столбцы — дробная часть.

Читается эта дробь как тридцать одна целая восемьдесят пять тысяч четыреста тридцать одна стотысячная.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Первый способ, это обратить десятичные дроби в обыкновенные и произвести сложение.

как видно из примера этот способ очень неудобный и лучше воспользоваться вторым способом более правильным, не обращая десятичные дроби в обыкновенные. Для того чтобы сложить две десятичные дроби, надо:

• уравнять в слагаемых количество цифр после запятой;
• записать слагаемые друг под другом так, чтобы каждый разряд второго слагаемого оказался под соответствующим разрядом первого слагаемого;
• сложить полученные числа так, как складывают натуральные числа;
• поставить в полученной сумме запятую под запятыми в слагаемых.

Рассмотрим примеры:

• уравнять в уменьшаемом и вычитаемом количество цифр после запятой;
• записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы каждый разряд вычитаемого оказался под соответствующим разрядом уменьшаемого;
• произвести вычитание так, как вычитают натуральные числа;
• поставить в полученной разности запятую под запятыми в уменьшаемом и вычитаемом.

Рассмотрим примеры:

В рассмотренных выше примерах видно, что сложение и вычитание десятичных дробей выполнялось поразрядно, то есть так, как мы производили аналогичные действия с натуральными числами. Это и есть главное преимущество десятичной формы записи дробей.

Умножение десятичных дробей

Для того чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, надо в этой дроби перенести запятую вправо соответственно на 1, 2, 3 и так далее цифры. Следовательно, если запятую перенести вправо на 1, 2, 3 и так далее цифры, то дробь увеличится соответственно в 10, 100, 1000 и так далее раз. Для того чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

• умножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые;
• в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятых в обоих множителях вместе.

Встречаются случаи, когда произведение содержит меньше цифр, чем требуется отделить запятой, слева перед этим произведением дописывают необходимое количество нулей, а затем переносят запятую влево на нужное количество цифр.

Рассмотрим примеры: 2 * 4 = 8, тогда 0,2 * 0,4 = 0,08; 23 * 35 = 805, тогда 0,023 * 0,35 = 0,00805.

Встречаются случаи, когда один из множителей равен 0,1; 0,01; 0,001 и так далее, удобнее пользоваться следующим правилом.

• Для того чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее, надо в этой десятичной дроби перенести запятую влево соответственно на 1, 2, 3 и так далее цифры.

Рассмотрим примеры: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.

Свойства умножения натуральных чисел выполняются и для десятичных дробей.

• ab = ba — переместительное свойство умножения;
• (ab) c = a (bc) — сочетательное свойство умножения;
• a (b + c) = ab + ac — распределительное свойство умножения, относительно сложения.

Деление десятичных дробей

Известно, если разделить натуральное число a на натуральное число b означает найти такое натуральное число c , которое при умножении на b дает число a . Это правило остается верным, если хотя бы одно из чисел a, b, c является десятичной дробью.

Рассмотрим пример, требуется разделить 43,52 на 17 уголком, не обращая внимания на запятую. При этом запятую в частном следует поставить непосредственно перед тем, как будет использована первая цифра после запятой в делимом.

Бывают случаи когда делимое меньше делителя, тогда целая часть частного равна нулю. Рассмотрим пример:

Рассмотрим еще один интересный пример.

Процесс деления остановлен, потому что цифры делимого закончились, а в остатке нуль не получили. Известно, что десятичная дробь не изменится, если к ней справа приписать любое количество нулей. Тогда становится понятно, что цифры делимого закончится не могут.

Для того чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, надо в этой дроби перенести запятую влево на 1, 2, 3 и так далее цифры. Рассмотрим пример: 5,14: 10 = 0,514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.

Если делимое и делитель увеличить одновременно в 10, 100, 1000 и так далее раз, то частное не изменится.

Рассмотрим пример: 39,44: 1,6 = 24,65 увеличим делимое и делитель в 10 раз 394,4: 16 = 24,65 справедливо заметить, что делить десятичную дробь на натуральное число во втором примере легче.

Для того чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо:

• перенести в делимом и в делителе запятые вправо на столько цифр, сколько их содержится после запятой в делителе;
• выполнить деление на натуральное число.

Рассмотрим пример: 23,6: 0,02 заметим, что в делителе стоит два знака после запятой, следовательно умножаем оба числа на 100 получаем 2360: 2 = 1180 делим результат на 100 и получаем ответ 11,80 или 23,6: 0,02 = 11,8.

Сравнение десятичных дробей

Существует два способа сравнения десятичных дробей. Способ первый, требуется сравнить две десятичные дроби 4,321 и 4,32 уравниваем количество знаков после запятой и начинаем сравнивать поразрядно, десятые с десятыми, сотые с сотыми и так далее в итоге получаем 4,321 > 4,320.

Второй способ сравнения десятичных дробей производится с помощью умножения, умножим вышеприведенный пример на 1000 и сравним 4321 > 4320. Какой способ удобней, каждый выбирает для себя сам.

ГЛАВА III.

ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ.

§ 31. Задачи и примеры на все действия с десятичными дробями.

Выполнить указанные действия:

767. Найти частное от деления:

Выполнить действия:

772. Вычислить:

Найти х , если:

776. Неизвестное число умножили на разность чисел 1 и 0,57 и в произведении получили 3,44. Найти неизвестное число.

777. Сумму неизвестного числа и 0,9 умножили на разность между 1 и 0,4 и в произведении получили 2,412. Найти неизвестное число.

778. По данным диаграммы о выплавке чугуна в РСФСР (рис. 36) составить задачу, для решения которой надо применить действия сложения, вычитания и деления.

779. 1) Длина Суэцкого канала 165,8 км, длина Панамского канала меньше Суэцкого на 84,7 км, а длина Беломорско-Балтийского канала на 145,9 км больше длины Панамского. Какова длина Беломорско-Балтийского канала?

2) Московское метро (к 1959 г.) было построено в 5 очередей. Длина первой очереди метро 11,6 км, второй -14,9 км, длина третьей на 1,1 км меньше длины второй очереди, длина четвёртой очереди на 9,6 км больше третьей очереди, а длина пятой очереди на 11,5 км меньше четвёртой. Чему равна длина Московского метро к началу 1959 г.?

780. 1) Наибольшая глубина Атлантического океана 8,5 км, наибольшая глубина Тихого ркеана на 2,3 км больше глубины Атлантического океана, а наибольшая глубина Северного Ледовитого океана в 2 раза меньше наибольшей глубины Тихого океана. Какова наибольшая глубина Северного Ледовитого океана?

2) Автомобиль «Москвич» на 100 км пути расходует 9 л бензина, автомобиль «Победа» на 4,5 л больше, чем расходует «Москвич», а «Волга» в 1,1 раза больше «Победы». Сколько бензина расходует автомобиль «Волга» на 1 км пути? (Ответ округлить с точностью до 0,01 л.)

781. 1) Ученик во время каникул поехал к дедушке. По железной дороге он ехал 8,5 часа, а от станции на лошадях 1,5 часа. Всего он проехал 440 км. С какой скоростью ученик ехал по железной дороге, если на лошадях он ехал со скоростью 10 км в час?

2) Колхознику надо было быть в пункте, находящемся на расстоянии 134,7 км от его дома. 2,4 часа он ехал на автобусе со средней скоростью 55 км в час, а остальную часть пути он прошёл пешком со скоростью 4,5 км в час. Сколько времени он шёл пешком?

782. 1) За лето один суслик уничтожает около 0,12 ц хлеба. Пионеры весной истребили на 37,5 га 1 250 сусликов. Сколько хлеба сохранили школьники для колхоза? Сколько сбережённого хлеба приходится на 1 га?

2) Колхоз подсчитал, что, уничтожив сусликов на площади в 15 га пашни, школьники сберегли 3,6 т зерна. Сколько сусликов в среднем уничтожено на 1 га земли, если один суслик за лето уничтожает 0,012 т зерна?

783. 1) При размоле пшеницы на муку теряется 0,1 её веса, а при выпечке получается припёк, равный 0,4 веса муки. Сколько печёного хлеба получится из 2,5 т пшеницы?

2) Колхоз собрал 560 т семян подсолнуха. Сколько подсолнечного масла изготовят из собранного зерна, если вес зерна составляет 0,7 веса семян подсолнуха, а вес полученного масла составляет 0,25 веса зерна?

784. 1) Выход сливок из молока составляет 0,16 веса молока, а выход масла из сливок составляет 0,25 веса сливок. Сколько требуется молока (по весу) для получения 1 ц масла?

2) Сколько килограммов белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушёных, если при подготовке к сушке остаётся 0,5 веса, а при сушке остаётся 0,1 веса обработанного гриба?

785. 1) Земля, отведённая колхозу, использована так: 55% её занято пашней, 35% -лугом, а вся остальная земля в количестве 330,2 га отведена под колхозный сад и под усадьбы колхозников. Сколько всего земли в колхозе?

2) Колхоз засеял 75% всей посевной площади зерновыми культурами, 20% -овощными, а остальную площадь кормовыми травами. Сколько посевной площади имел колхоз, если кормовыми травами он засеял 60 га?

786. 1) Сколько центнеров семян потребуется для засева поля, имеющего форму прямоугольника длиной 875 м и шириной 640 м, если на 1 га высевать 1,5 ц семян?

2) Сколько центнеров семян потребуется для засева поля, имеющего форму прямоугольника, если его периметр равен 1,6 км? Ширина поля 300 м. На засев 1 га требуется 1,5 ц семян.

787. Сколько пластинок квадратной формы со стороной в 0,2 дм поместится в прямоугольнике размером 0,4 дм х 10 дм?

788. Читальный зал имеет размеры 9,6 м х 5м х 4,5 м. На сколько мест рассчитан читальный зал, если на каждого человека необходимо 3 куб. м воздуха?

789. 1) Какую площадь луга скосит трактор с прицепом четырёх косилок за 8 час, если ширина захвата каждой косилки 1,56 м и скорость трактора 4,5 км в час? (Время на остановки не учитывается.) (Ответ округлить с точностью до 0,1 га.)

2) Ширина захвата тракторной овощной сеялки равна 2,8 м. Какую площадь можно засеять этой сеялкой за 8 час. работы при скорости 5 км в час?

790. 1) Найти выработку трёхкорпусного тракторного плуга за 10 час. работы, если скорость трактора 5 км в час, захват одного корпуса 35 см, а непроизводительная трата времени составила 0,1 всего затраченного времени. (Ответ округлить с точностью до 0,1 га.)

2) Найти выработку пятикорпусного тракторного плуга за 6 час. работы, если скорость трактора 4,5 км в час, захват одного корпуса 30 см, а непроизводительная трата времени составила 0,1 всего затраченного времени. (Ответ округлить с точностью до 0,1 га.)

791. Расход воды на 5 км пробега для паровоза пассажирского поезда равен 0,75 т. Водяной бак тендера вмещает 16,5 т воды. На сколько километров пути хватит воды поезду, если бак был наполнен на 0,9 своей вместимости?

792. На запасном пути могут поместиться только 120 товарных вагонов при средней длине вагона в 7,6 м. Сколько поместится на этом пути четырёхосных пассажирских вагонов длиной в 19,2 м каждый, если на этом пути будут помещены ещё 24 товарных вагона?

793. Для прочности железнодорожной насыпи рекомендуется производить укрепление откосов посредством посева полевых трав. На каждый квадратный метр насыпи требуется 2,8 г семян стоимостью 0,25 руб. за 1 кг. Сколько будет стоить засев 1,02 га откосов, если стоимость работ составит 0,4 от стоимости семян? (Ответ округлить с точностью до 1 руб.)

794. Кирпичный завод доставил на станцию железной дороги кирпичи. На перевозке кирпичей работали 25 лошадей и 10 грузовых машин. Каждая лошадь перевозила 0,7 т за одну поездку и в день совершала 4 поездки. Каждая машина перевозила за одну поездку 2,5 т и в день совершала 15 поездок. Перевозка продолжалась 4 дня. Сколько штук кирпичей было доставлено на станцию, если средний вес одного кирпича 3,75 кг? (Ответ округлить с точностью до 1 тыс. штук.)

795. Запас муки был распределён между тремя пекарнями: первая получила 0,4 всего запаса, вторая 0,4 остатка, а третья пекарня получила муки на 1,6 т меньше, чем первая. Сколько всего муки было распределено?

796. На втором курсе института 176 студентов, на третьем 0,875 этого числа, а на первом в полтора раза больше того, что было на третьем курсе. Число студентов на первом, втором и третьем курсах составляло 0,75 всего числа студентов этого института. Сколько студентов было в институте?

797. Найти среднее арифметическое:

1) двух чисел: 56,8 и 53,4; 705,3 и 707,5;

2) трёх чисел: 46,5; 37,8 и 36; 0,84; 0,69 и 0,81;

3) четырёх чисел: 5,48; 1,36; 3,24 и 2,04.

798. 1) Утром температура была 13,6°, в полдень 25,5°, а вечером 15,2°. Вычислить среднюю температуру за этот день.

2) Какова средняя температура за неделю, если в течение недели термометр показал: 21°; 20,3°; 22,2°; 23,5°; 21,1°; 22,1°; 20,8°?

799. 1) Школьная бригада в первый день прополола 4,2 га свёклы, во второй день 3,9 га, а в третий 4,5 га. Определять среднюю выработку бригады за день.

2) Для установления нормы времени на изготовление новой детали были поставлены 3 токаря. Первый изготовил деталь за 3,2 мин., второй за 3,8 мин., а третий за 4,1 мин. Вычислить норму времени, которая была установлена на изготовление детали.

800. 1) Среднее арифметическое двух чисел 36,4. Одно из этих чисел 36,8. Найти другое.

2) Температуру воздуха измеряли три раза в день: утром, в полдень и вечером. Найти температуру воздуха утром, если в полдень было 28,4°, вечером 18,2° тепла, а средняя температура дня 20,4°.

801. 1) Автомобиль проехал за первые два часа 98,5 км, а за последующие три часа 138 км. Сколько километров в среднем проезжал автомобиль в час?

2) Пробный улов и взвешивание карпов-годовичков показал, что из 10 карпов 4 имели вес по 0,6 кг, 3 по 0,65 кг, 2 по 0,7 кг и 1 весил 0,8 кг. Каков в среднем вес карпа-годовичка?

802. 1) К 2 л сиропа стоимостью 1,05 руб. за 1 л добавили 8 л воды. Сколько стоит 1 л полученной воды с сиропом?

2) Хозяйка купила банку консервированного борща объёмом 0,5 л за 36 коп. и прокипятила с 1,5 л воды. Во что обошлась тарелка борща, если её объём равен 0,5 л?

803. Лабораторная работа «Измерение расстояния между двумя точками»,

1-й приём. Измерение рулеткой (мерной лентой). Класс разбивается на звенья по три человека в каждом. Принадлежности: 5-6 вех и 8-10 бирок.

Ход выполнения работы: 1) отмечаются точки А и Б и между ними провешивают прямую (см. задачу 178); 2) укладывают рулетку, вдоль провешенной прямой и каждый раз отмечают биркой конец рулетки. 2-й приём. Измерение, шагами. Класс разбивается на звенья по три человека в каждом. Каждый учащийся проходит расстояние от А до Б, считая число своих шагов. Умножив среднюю длину своего шага на полученное число шагов, находят расстояние от А до Б.

3-й приём. Измерение "на глаз" . Каждый из учащихся вытягивает левую руку с поднятым большим пальцем (рис. 37) и направляет большой палец на веху в точку Б (на рисунке - дерево) так, чтобы левый глаз (точка А), большой палец и точка Б находились на одной прямой. Не изменяя положения, закрывают левый глаз и смотрят правым на большой палец. Измеряют на глаз полученное смещение и увеличивают его в 10 раз. Это и есть расстояние от А до Б.

804. 1) По переписи 1959 г. население СССР составляло 208,8 млн. человек, причем сельского населения было на 9,2 млн. человек больше, чем городского. Сколько было городского и сколько сельского населения в СССР в 1959 г.?

2) По переписи 1913 г. население России составляло 159,2 млн. человек, причём городского населения было на 103,0 млн. человек меньше, чем сельского. Сколько было городского и сельского населения в России в 1913 г.?

805. 1) Длина проволоки 24,5 м. Эту проволоку разрезали на две части так, что первая часть получилась на 6,8 м длиннее, чем вторая. Сколько метров длины имеет каждая часть?

2) Сумма двух чисел 100,05. Одно число на 97,06 больше другого. Найти эти числа.

806. 1) На трёх угольных складах 8656,2 т угля, на втором складе на 247,3 т угля больше, чем на первом, а на третьем на 50,8 т больше, чем на втором. Сколько тонн угля на каждом складе?

2) Сумма трёх чисел 446,73. Первое число меньше второго на 73,17 и больше третьего на 32,22. Найти эти числа.

807. 1) Катер по течению реки шёл со скоростью 14,5 км в час, а против течения со скоростью 9,5 км в час. Какова скорость катера в стоячей воде и какова скорость течения реки?

2) Пароход прошёл за 4 часа по течениию реки 85,6 км, а против течения за 3 часа 46,2 км. Какова скорость парохода в стоячей воде и какова скорость течения реки?

808. 1) Два парохода доставили 3 500 т груза, причём один пароход доставил в 1,5 раза груза больше, чем другой. Сколько груза доставил каждый пароход?

2) Площадь двух комнат 37,2 кв. м. Площадь одной комнаты в 2 раза больше другой. Чему равна площадь каждой комнаты?

809. 1) Из двух населённых пунктом, расстояние между которыми 32,4 км одновременно выехали навстречу друг другу мотоциклист и велосипедист. Сколько километров проедет каждый из них до встречи, если скорость мотоциклиста в 4 раза больше скорости велосипедиста?

2) Найти два числа, сумма которых 26,35, а частное от деления одного числа на другое равно 7,5.

810. 1) Завод отправил три вида груза общим весом в 19,2 т. Вес груза первого вида был втрое больше веса груза второго вида, а вес груза третьего вида был вдвое меньше, чем вес груза первого и второго видов вместе. Каков вес груза каждого вида?

2) За три месяца бригада горняков добыла 52,5 тыс. т железной руды. За март добыто в 1,3, за февраль в 1,2 раза больше, чем за январь. Сколько руды добывала бригада ежемесячно?

811. 1) Газопровод Саратов - Москва на 672 км длиннее канала имени Москвы. Найти длину того и другого сооружения, если длина газопровода в 6,25 раза больше длины канала имени Москвы.

2) Длина реки Дона в 3,934 раза больше длины реки Москвы. Найти длину каждой реки, если длина реки Дона больше длины реки Москвы на 1 467 км.

812. 1) Разность двух чисел 5,2, а частное от деления одного числа на другое 5. Найти эти числа.

2) Разность двух чисел 0,96, а их частное 1,2. Найти эти числа.

813. 1) Одно число на 0,3 меньше другого и составляет 0,75 его. Найти эти числа.

2) Одно число на 3,9 больше другого числа. Если меньшее число увеличить в 2 раза, то оно составит 0,5 от большего. Найти эти числа.

814. 1) Колхоз засеял пшеницей и рожью 2600 га земли. Сколько гектаров земли было засеяно пшеницей и сколько рожью, если 0,8 площади, засеянной пшеницей, равны 0,5 площади, засеянной рожью?

2) Коллекция двух мальчиков вместе составляет 660 марок. Из скольких марок состоит коллекция каждого мальчика, если 0,5 числа марок первого мальчика равны 0,6 числа марок коллекции второго мальчика?

815. Два ученика вместе имели 5,4 руб. После того как первый истратил 0,75 своих денег, а второй 0,8 своих денег, у них осталось денег поровну. Сколько денег было у каждого ученика?

816. 1) Два парохода вышли навстречу друг другу из двух портов, расстояние между которыми 501,9 км. Через сколько времени они встретятся, если скорость первого парохода 25,5 км в час, а скорость второго 22,3 км в час?

2) Два поезда вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 382,2 км. Через сколько времени они встретятся, если средняя скорость первого поезда была 52,8 км в час, а второго 56,4 км в час?

817. 1) Из двух городов, расстояние между которыми 462 км, одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3,5 часа. Найти скорость каждого автомобиля, если скорость первого была на 12 км в час больше скорости второго автомобиля.

2) Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 63 км, одновременно выехали навстречу друг другу мотоциклист и велосипедист и встретились через 1,2 часа. Найти скорость мотоциклиста, если велосипедист ехал со скоростью на 27,5 км в час меньшей скорости мотоциклиста.

818. Ученик заметил, что поезд, состоящий из паровоза и 40 вагонов, проходил мимо него 35 сек. Определить скорость поезда в час, если длина паровоза 18,5 м, а длина вагона 6,2 м. (Ответ дать с точностью до 1 км в час.)

819. 1) Из А в Б выехал велосипедист со средней скоростью 12,4 км в час. Спустя 3 часа 15 мин. из Б навстречу ему выехал другой велосипедист со средней скоростью 10,8 км в час. Через сколько часов и на каком расстоянии от А они встретятся, если 0,32 расстояния между А и Б равны 76 км?

2) Из городов А и Б, расстояние между которыми 164,7 км, выехали навстречу друг другу грузовая машина из города А и легковая - из города Б. Скорость грузовой машины 36 км, а легковой в 1,25 раза больше. Легковая машина вышла на 1,2 часа позже грузовой. Через сколько времени и на каком расстоянии от города Б легковая машина встретит грузовую?

820. Два парохода вышли одновременно из одного порта и идут в одном направлении. Первый пароход в каждые 1,5 часа проходит 37,5 км, а второй в каждые 2 часа проходит 45 км. Через сколько времени первый пароход будет находиться от второго на расстоянии 10 км?

821. Из одного пункта вначале вышел пешеход, а через 1,5 часа после его выхода выехал в том же направлении велосипедист. На каком расстоянии от пункта велосипедист догнал пешехода, если пешеход шёл со скоростью 4,25 км в час, а велосипедист ехал со скоростью 17 км в час?

822. Поезд вышел из Москвы в Ленинград в 6 час. 10 мин. утра и шёл со средней скоростью 50 км п час. Позднее из Москвы в Ленинград вылетел пассажирский самолет и прилетел в Ленинград одновременно с прибытием поезда. Средняя скорость самолёта была 325 км в час, а расстояние между Москвой и Ленинградом 650 км. Когда самолёт вылетел из Москвы?

823. Пароход по течению реки шёл 5 час, а против течения 3 часа и прошёл всего 165 км. Сколько километров он прошёл по течению и сколько против течении, если скорость течения реки 2,5 км в час?

824. Поезд вышел из А и должен прибыть в Б в определённое время; пройдя половину пути и делая по 0,8 км в 1 мин., поезд был остановлен на 0,25 часа; увеличив далее скорость на 100 м в 1 млн., поезд прибыл в Б вовремя. Найти расстояние между А и Б.

825. От колхоза до города 23 км. Из города в колхоз выехал на велосипеде почтальон со скоростью 12,5 км в час. Через 0,4 часа после этого ИВ колхоза в город выехал на лошади колхозник со скоростью, ранной 0,6 скорости почтальона. Через сколько времени после своего выезда колхозник встретит почтальона?

826. Из города А в город Б, отстоящий от А на 234 км, выехал автомобиль со скоростью 32 км в час. Через 1,75 часа после этого из города Б выехал навстречу первому второй автомобиль, скорость которого в 1,225 раза больше скорости первого. Через сколько часов после своего выезда второй автомобиль встретит первый?

827. 1) Одна машинистка может перепечатать рукопись за 1,6 часа, а другая за 2,5 часа. За сколько времени обе машинистки перепечатают эту рукопись, работая совместно? (Ответ округлить с точностью до 0,1 часа.)

2) Бассейн наполняется двумя насосами различной мощности. Первый насос, работая один, может наполнить бассейн за 3,2 часа, а второй за 4 часа. За сколько времени наполнится бассейн при одновременной работе этих насосов? (Ответ округлить с точностью до 0,1.)

828. 1) Одна бригада может выполнить некоторый заказ за 8 дней. Другой на выполнение этого заказа требуется 0,5 времени первой. Третья бригада может выполнить этот заказ за 5 дней. За сколько дней будет выполнен весь заказ при совместной работе трёх бригад? (Ответ округлить с точностью до 0,1 дня.)

2) Первый рабочий может выполнить заказ за 4 часа, второй в 1,25 раза быстрее, а третий за 5 час. За сколько часов будет выполнен заказ при совместной работе трёх рабочих? (Ответ округлить с точностью до 0,1 часа.)

829. На уборке улицы работают две машины. Первая из них может убрать всю улицу за 40 мин., второй для этого требуется 75% времени первой. Обе машины начали работу одновременно. После совместной рвботы в течение 0,25 часа вторая машина прекратила работу. Во сколько времени после этого первая машина закончила работу по уборке улицы?

830. 1) Одна из сторон треугольника 2,25 см, вторая на 3,5 см больше первой, а третья на 1,25 см меньше второй. Найти периметр треугольника.

2) Одна из сторон треугольника 4,5 см, вторая на 1,4 см меньше первой, а третья сторона равна полусумме двух первых сторон. Чему равен периметр треугольника?

831 . 1) Основание треугольника 4,5 см, а высота его на 1,5 см меньше. Найти площадь треугольника.

2) Высота треугольника 4,25 см, а его основание в 3 раза больше. Найти площадь треугольника. (Ответ округлить с точностью до 0,1.)

832. Найти площади заштрихованных фигур (рис. 38).

833. Какая площадь больше: прямоугольника со сторонами 5 см и 4 см, квадрата со стороной 4,5 см или треугольника, основание и высота которого равны по 6 см?

834. Комната имеет длину 8,5 м, ширину 5,6 м и высоту 2,75 м. Площадь окон, дверей и печей составляет 0,1 общей площади стен комнаты. Сколько кусков обоев понадобится для оклеивания этой комнаты, если кусок обоев имеет длину 7 м и ширину 0,75 м? (Ответ округлить с точностью до 1 куска.)

835. Надо снаружи оштукатурить и побелить одноэтажный дом, размеры которого: длина 12 м, ширина 8 м и высота 4,5 м. В доме 7 окон размером каждое 0,75 м х 1,2 м и 2 двери каждая размером 0,75 м х 2,5 м. Сколько будет стоить вся работа, если побелка и штукатурка 1 кв. м стоит 24 коп.? (Ответ округлить а точностью до 1 руб.)

836. Вычислите поверхность и объём вашей комнаты. Размеры комнаты найдите измерением.

837. Огород имеет форму прямоугольника, длина которого 32 м, ширина 10 м. 0,05 всей площади огорода засеяно морковью, а остальная часть огорода засажена картофелем и луком, причём картофелем засажена площадь в 7 paз большая, чем луком. Сколько земли в отдельности засажено картофелем, луком и морковью?

838. Огород имеет форму прямоугольника, длина которого 30 м и ширина 12 м. 0,65 всей площади огорода засажено картофелем, а остальная часть - морковью и свёклой, причём свёклой засажено на 84 кв. м больше, чем морковью. Сколько земли в отдельности под картофелем, свёклой и морковью?

839. 1) Ящик, имеющий форму куба, обшили со всех сторон фанерой. Сколько фанеры израсходовано, если ребро куба 8,2 дм? (Ответ округлить с точностью до 0,1 кв. дм.)

2) Сколько краски потребуется для окраски куба с ребром в 28 см, если на 1 кв. см будет истрачено 0,4 г краски? (Ответ, округлить с точностью до 0,1 кг.)

840. Длина чугунной заготовки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, равна 24,5 см, ширина 4,2 см и высота 3,8 см. Сколько весят 200 чугунных заготовок, если 1 куб. дм чугуна весит 7,8 кг? (Ответ округлить с точностью до 1 кг.)

841. 1) Длина ящика (с крышкой), имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равна 62,4 см, ширина 40,5 см, высота 30 см. Сколько квадратных метров досок пошло на изготовление ящика, если отходы досок составляют 0,2 поверхности, которая должна быть обшита досками? (Ответ округлить с точностью до 0,1 кв. м.)

2) Дно и боковые стенки ямы, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, должны быть обшиты досками. Длина ямы 72,5 м, ширина 4,6 м и высота 2,2 м. Сколько квадратных метров досок пошло на обшивку, если отходы досок составляют 0,2 поверхности, которая должна быть обшита досками? (Ответ округлить с точностью до 1 кв. м.)

842. 1) Длина подвала, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равна 20,5 м, ширина 0,6 его длины, а высота 3,2 м. Подвал заполнили картофелем на 0,8 его объёма. Сколько тонн картофеля поместилось в подвале, если 1 куб.м картофеля весит 1,5 т? (Ответ округлить с точностью до 1 т.)

2) Длина бака, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равна 2,5 м, ширина 0,4 его длины, а высота 1,4 м. Бак наполнен керосином на 0,6 его объёма. Сколько тонн керосина налито в бак, если вес керосина в объёме 1 куб. м равен 0,9 т? (Ответ округлить с точностью до 0,1 т.)

843. 1) Во сколько времени можно обновить воздух в комнате, имеющей 8,5 м длины, 6 м ширины и 3,2 м высоты, если через форточку в 1 сек. проходит 0,1 куб. м воздуха?

2) Произведите подсчёт времени, необходимого для обновления воздуха в вашей комнате.

844. Размеры бетонного блока для постройки стен следующие: 2,7 м х 1,4 м х 0,5 м. Пустота составляет 30% объёма блока. Сколько кубометров бетона потребуется на изготовление 100 таких блоков?

845. Грейдер-элеватор (машина для рытья канав) за 8 час. работы делает канаву шириной 30 см, глубиной 34 см и длиной 15 км. Скольких землекопов заменяет такая машина, если один землекоп может вынуть 0,8 куб. м в час? (Результат округлить.)

846. Закром в форме прямоугольного параллелепипеда имеет в длину 12 м и в ширину 8 ж. В этом закроме насыпано зерно до высоты 1,5 м. Для того чтобы узнать, сколько весит всё зерно, взяли ящик длиной 0,5 м, шириной 0,5 м и высотой 0,4 м, наполнили его зерном и взвесили. Сколько весило зерно в закроме, если зерно в ящике весило 80 кг?

848. 1) Используя диаграмму «Выплавка стали в РСФСР» (pис 39). ответьте на следующие вопросы:

а) На сколько миллионов тонн возросла выплавка стали в 1959 г. по сравнению с 1945 г.?

б) Во сколько раз выплавка стали в 1959 г. была больше выплавки в 1913 г.? (С точностью до 0,1.)

2) Используя диаграмму «Посевные площади в РСФСР» (рис. 40), ответьте на следующие вопросы:

а) На сколько миллионов гектаров увеличилась посевная площадь в 1959 г. по сравнению с 1945 г.?

б) Во сколько раз посевная площадь в 1959 г. была больше посевной площади в 1913 г.?

849. Построить линейную диаграмму роста городского населения в СССР, если в 1913 г. городского населения было 28,1 млн человек, в 1926 г.-24,7 млн., в 1939 г.-56,1 млн. и в 1959г- 99,8 млн. человек.

850. 1) Составить смету на ремонт помещения вашего класса, если требуется побелить стены и потолок, а также покрасить пол. Данные для составления сметы (размеры класса, стоимость побелки 1 кв. м, стоимость покраски пола 1 кв. м) выяснить у завхоза школы.

2) Для посадки в саду школа купила саженцы: 30 яблонь по 0,65 руб. за штуку, 50 вишен по 0,4 руб. за штуку, 40 кустов крыжовника по 0,2 руб. и 100 кустов малины по 0,03 руб. за куст. Напишите счёт на эту покупку по образцу:

Состоит из трех частей, каждая из которых содержит 48 карточек с примерами на совместное выполнение сложения и вычитания, умножения и деления, а также всех четырех арифметических действий с десятичными дробями. Все карточки однотипны и включают в себя примеры различной трудности с учетом особенностей, характерных для отдельных действий. Каждой карточка состоит из восьми примеров, содержащих от четырех до шести действий, причем примеры с одинаковыми номерами аналогичны друг другу. Так первые два примера всех карточек пятой и шестой частей не содержат скобок, в третьих и четвертых примерах обязательно присутствует одна пара скобок, в пятых и шестых - две пары скобок, в седьмых - три пары, а восьмые примеры содержат скобки в скобках. Аналогичным образом подобны друг другу и примеры седьмой части. Для качественной проработки всех арифметических действий карточки были составлены таким образом, что: - в каждом примере на сложение и вычитание (часть 5) обязательно есть целое слагаемое, а один из промежуточных ответов является целым числом; - в каждом примере на умножение и деление (часть 6) обязательно присутствует множитель, являющийся целой (положительной или отрицательной) степенью десятки, причем в каждом варианте встречаются все четыре случая (уножение и деление на положительную и на отрицательную степень десятки). Кроме того, в КАЖДОМ НЕЧЕТНОМ ПРИМЕРЕ КАЖДОГО ВАРИАНТА содержится по крайней мере одно действие деления, частное которого имеет НУЛЕВОЙ СРЕДНИЙ РАЗРЯД. В других примерах таких частных нет; - в каждом примере седьмой части присутствуют все четыре арифметических действия и по возможности реализованы особенности примеров из пятой и шестой частей. Для этого в каждом примере одно из действий сложения или вычитания производится с целым числом или дает целый результат. Все примеры этой части, в которых при делении получается ЧАСТНОЕ СО СРЕДНИМ НУЛЕВЫМ РАЗРЯДОМ, отмечены в ответах знаком (!) после своего номера, причем ТАКИЕ ЧАСТНЫЕ ОБЯЗАТЕЛЬНЫ ВО ВТОРОМ И ЧЕТВЕРТОМ ПРИМЕРАХ КАЖДОГО ВАРИАНТА. Кроме того, в каждом варианте встречаются и уножение и деление как на положительную, так и на отрицательную степень десятки. ВСЕ ЗАДАНИЯ ВСЕХ ВАРИАНТОВ СНАБЖЕНЫ ОТВЕТАМИ ПО КАЖДОМУ ДЕЙСТВИЮ, причем КОНЕЧНЫЙ ОТВЕТ КАЖДОГО ПРИМЕРА определенным образом СВЯЗАН С ЕГО ПОРЯДКОВЫМ НОМЕРОМ И НОМЕРОМ ВАРИАНТА, то есть вторым числом после номера части. А именно: - конечный ответ любого примера пятой части представляет собой число, целая часть которого является номером варианта, а дробная часть - порядковым номером примера. Так ответом четвертого примера варианта 5.20 (то есть двадцатого варианта пятой части) является число 20,4; - конечный ответ любого примера шестой части представляет собой число, целая часть которого также является номером варианта, а дробная часть состоит из двух цифр - нуля и номера примера. Так седьмой пример варианта 6.12 имеет конечный ответ 12,07; - конечный ответ любого примера седьмой части является числом, целая часть которого равна сумме номера варианта и номера примера, а дробная часть образована так же, как и в шестой части. Таким образом, третий пример варианта 7.28 имеет конечный ответ 31,03. Большое количество различных вариантов по каждой теме позволяет учителю легко организовать в классе индивидуальную работу всех учащихся. Данные карточки могут многократно применяться на уроках при отработке вычислительных навыков у учащихся, на самостоятельных и контрольных работах, на дополнительных занятиях, в качестве домашнего задания и т.п. Кроме того, данный дидактический материал может использоваться при изучении правил раскрытия скобок и изменения порядка действий для облегчения вычислений. Конечно, данные карточки будут полезны и при обучении учащихся работе на микрокалькуляторах. Формирование и решение всех заданий выполнено на компьютере по оригинальным программам.

В математике различные типы чисел изучаются с самого своего зарождения. Существует большое количество множеств и подмножеств чисел. Среди них выделяют целые числа, рациональные, иррациональные, натуральные, четные, нечетные, комплексные и дробные. Сегодня разберем информацию о последнем множестве - дробных числах.

Определение дробей

Дроби - это числа, состоящие из целой части и долей единицы. Также, как и целых чисел, существует бесконечное множество дробных, между двумя целыми. В математике действия с дробями выполняются, так как с целыми и натуральными числами. Это довольно просто и научиться этому можно за пару занятий.

В статье представлено два вида

Обыкновенные дроби

Обыкновенные дроби представляют собой целую часть a и два числа записанных через дробную черту b/c. Обыкновенные дроби могут быть крайне удобны, если дробную часть нельзя представить в рациональном десятичном виде. Кроме того, арифметические операции удобнее производить через дробную черту. Верхняя часть называется числитель, нижняя - знаменатель.

Действия с обыкновенными дробями: примеры

Основное свойство дроби. При умножении числителя и знаменателя на одно и то же число, не являющееся нулем, в результате получается число равное данному. Это свойство дроби отлично помогает привести знаменатель для сложения (об этом будет рассказано ниже) или сократить дробь, сделать ее удобнее для счета. a/b = a*c/b*c. К примеру, 36/24 = 6/4 или 9/13 = 18/26

Приведение к общему знаменателю. Чтобы привести знаменатель дроби необходимо представить знаменатель в виде множителей, а затем помножить на недостающие числа. Например, 7/15 и 12/30; 7/5*3 и 12/5*3*2. Видим, что знаменатели отличаются двойкой, поэтому умножаем числитель и знаменатель первой дроби на 2. Получаем: 14/30 и 12/30.

Составные дроби - обыкновенные дроби с выделенной целой частью. (A b/c) Чтобы представить составную дробь в виде обыкновенной, необходимо умножить число, стоящее перед дробью на знаменатель, а затем сложить с числителем: (A*c + b)/c.

Арифметические действия с дробями

Не лишним будет рассмотреть известные арифметические действия только при работе с дробными числами.

Сложение и вычитание. Складывать и вычитать обыкновенные дроби точно так же легко, как и целые числа, за исключением одной трудности - наличия дробной черты. Складывая дроби с одинаковым знаменателем, необходимо сложить лишь числители обеих дробей, знаменатели остаются без изменения. Например: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Если же знаменатели двух дробей представляют собой разные числа сначала нужно привести их к общему (как это сделать было рассмотрено выше). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Вычитание происходит по точно такому же принципу: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

Умножение и деление. Действия с дробями по умножению происходят по следующему принципу: отдельно перемножаются числители и знаменатели. В общем виде формула умножения выглядит так: a/b *c/d = a*c/b*d. Кроме того, по мере умножения можно сократить дробь, исключая одинаковые множители из числителя и знаменателя. Выражаясь другим языком, числитель и знаменатель делится на одно и то же число: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

Для деления одной обыкновенной дроби на другую, нужно поменять числитель и знаменатель делителя и выполнить умножение двух дробей, по принципу, рассмотренному ранее: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5

Десятичные дроби

Десятичные дроби являются более популярной и часто используемой версией дробных чисел. Их проще записать в строчку или представить на компьютере. Структура десятичной дроби такая: сначала записывается целое число, а затем, после запятой, записывается дробная часть. По своей сути десятичные дроби - это составные обыкновенные дроби, однако их дробная часть представлена числом, деленным на кратное цифре 10. Отсюда и произошло их название. Действия с дробями десятичными аналогичны действиям с целыми числами, так как они так же записаны в десятичной системе счисления. Также в отличие от обыкновенных дробей, десятичные могут быть иррациональными. Это значит, что они могут быть бесконечны. Записываются они так 7,(3). Читается такая запись: семь целых, три десятых в периоде.

Основные действия с десятичными числами

Сложение и вычитание десятичных дробей. Выполнить действия с дробями не сложнее, чем с целыми натуральными числами. Правила абсолютно аналогичны с теми, что используют при сложении или вычитании натуральных чисел. Их точно так же можно считать столбиком, однако при необходимости заменять недостающие места нулями. Например: 5,5697 - 1,12. Для того чтобы выполнить вычитание столбиком нужно уравнять количество чисел после запятой: (5,5697 - 1,1200). Так, числовое значение не измениться и можно будет считать в столбик.

Действия с десятичными дробями нельзя производить, если одно из них имеет иррациональный вид. Для этого нужно перевести оба числа в обыкновенные дроби, а затем пользоваться приемами, описанными ранее.

Умножение и деление. Умножение десятичных дробей аналогично умножению натуральных. Их также можно умножать столбиком, просто, не обращая внимания на запятую, а затем отделить запятой в итоговом значении такое же количество знаков, сколько в сумме после запятой было в двух десятичных дробях. К примеру, 1,5 * 2,23 = 3,345. Все очень просто, и не должно вызвать затруднений, если вы уже овладели умножением натуральных чисел.

Деление также совпадает с делением натуральных чисел, но с небольшим отступлением. Чтобы разделить на десятичное число столбиком необходимо отбросить запятую в делителе, и умножить делимое на число знаков, стоявших после запятой в делителе. После чего выполнять деление как с натуральными числами. При неполном делении можно добавлять нули к делимому справа, также прибавляя ноль в ответ после запятой.

Примеры действий с десятичными дробями. Десятичные дроби - очень удобный инструмент для арифметического счета. Они сочетают в себе удобство натуральных, целых чисел и точность обыкновенных дробей. К тому же довольно просто перевести одни дроби в другие. Действия с дробями не отличаются от действий с натуральными числами.

1. Сложение: 1,5 + 2,7 = 4,2
2. Вычитание: 3,1 - 1,6 = 1,5
3. Умножение: 1,7 * 2,3 = 3,91
4. Деление: 3,6: 0,6 = 6

Кроме того, десятичные дроби подходят для представления процентов. Так, 100 % = 1; 60 % = 0,6; и наоборот: 0,659 = 65,9 %.

Вот и все, что нужно знать о дробях. В статье было рассмотрено два вида дробей - обыкновенные и десятичные. Оба довольно простые в вычислении, и если вы полностью овладели натуральными числами и действиями с ними, можете смело приступать к изучению дробных.