На этом уроке вы узнаете, как из выражения, содержащего скобки, путем преобразования получить выражение, в котором скобок нет. Вы научитесь раскрывать скобки, перед которыми стоит знак плюс и знак минус. Мы вспомним, как раскрывать скобки, используя распределительный закон умножения. Рассмотренные примеры позволят связать новый и ранее изученный материал в единое целое.

Тема: Решение уравнений

Урок: Раскрытие скобок

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+». Использование сочетательного закона сложения.

Если к числу нужно прибавить сумму двух чисел, то можно к этому числу прибавить сначала первое слагаемое, а затем второе.

Слева от знака равно выражение со скобками, а справа - выражение без скобок. Значит, при переходе от левой части равенства к правой произошло раскрытие скобок.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Раскрыв скобки, мы изменили порядок действий. Считать стало удобнее.

Пример 2.

Пример 3.

Заметим, что во всех трех примерах мы просто убирали скобки. Сформулируем правило:

Замечание.

Если первое слагаемое в скобках стоит без знака, то его надо записать со знаком «плюс».

Можно выполнить пример по действиям. Сначала к 889 прибавить 445. Это действие в уме выполнить можно, но это не очень просто. Раскроем скобки и увидим, что изменённый порядок действий значительно упростит вычисления.

Если следовать указанному порядку действий, то нужно сначала из 512 вычесть 345, а затем к результату прибавить 1345. Раскрыв скобки, мы изменим порядок действий и значительно упростим вычисления.

Иллюстрирующий пример и правило.

Рассмотрим пример: . Найти значение выражения можно, сложив 2 и 5, а затем взять полученное число с противоположным знаком. Получим -7.

С другой стороны, тот же самый результат можно получить, сложив числа, противоположные исходным.

Сформулируем правило:

Пример 1.

Пример 2.

Правило не изменяется, если в скобках не два, а три или более слагаемых.

Пример 3.

Замечание. Знаки меняются на противоположные только перед слагаемыми.

Для того чтобы раскрыть скобки, в данном случае нужно вспомнить распределительное свойство.

Сначала умножим первую скобку на 2, а вторую - на 3.

Перед первой скобкой стоит знак «+», значит, знаки нужно оставить без изменения. Перед второй стоит знак «-», следовательно, все знаки нужно поменять на противоположные

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия, 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс - ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. - Просвещение, 1989.

1. Онлайн тесты по математике ().
2. Можно скачать указанные в п. 1.2. книги ().

Домашнее задание

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см. 1.2)
2. Домашнее задание: № 1254, № 1255, № 1256 (б,г)
3. Другие задания: № 1258(в), № 1248

Если вы хотите включить информацию, связанную с основным текстом, но эта информация не вписывается в основную часть предложения или абзац, вам необходимо взять эту информацию в скобки. Взяв ее в круглые скобки, вы тем самым уменьшаете ее значимость, так что она не отвлекает от основного смысла в тексте.

• Пример: Дж. Р. Р. Толкин (автор «Властелин колец») и К. С. Льюис (автор «Хроники Нарнии») были постоянными членами литературной дискуссионной группы, известной как «Инклинги».

Примечания в скобках. Часто, когда вы пишете прописью численное значение, полезно также указывать это значение в цифрах. Вы можете указать численную форму, поместив ее в скобки.

• Пример: Она должна заплатить семьсот долларов ($700) за аренду до конца этой недели.

Использование цифр или букв при перечислении. Когда вам нужно перечислить ряд информации внутри абзаца или предложения, нумерация каждого пункта может сделать список менее запутанным. Вы должны взять цифры или буквы, используемые для обозначения каждого пункта, в скобки.

• Пример: Компания ищет кандидата на работу, который (1) дисциплинирован, (2) знает все, что нужно знать о последних тенденциях в редактировании фотографий и улучшения программного обеспечения и (3) имеет, минимум, пять лет профессионального стажа в данной области.
• Пример: Компания ищет кандидата на работу, который (А) дисциплинирован, (Б) знает все, что нужно знать о последних тенденциях в редактировании фотографий и улучшения программного обеспечения и (В) имеет, минимум, пять лет профессионального стажа в данной области.

Обозначение множественного числа. В тексте, вы можете говорить о чем-то в единственном числе, в то же время подразумевая и множественное число. Если заведомо известно, что читатель получит пользу, зная, что вы имеете в виду как множественное, так и единственное число, вы можете обозначить свое намерение, указав в скобках сразу после существительного соответствующее окончание, свойственное данному существительному во множественном числе, если существительное имеет такую форму.

• Пример: Организаторы фестиваля в этом году надеются на большое количество зрителей, поэтому не забудьте приобрести дополнительный(ые) билет(ы).

Обозначение сокращений. При написании названия организации, продукта или других объектов, которые, как правило, имеют общеизвестные сокращения, вам необходимо указать полное имя объекта в первый раз, как вы его упоминаете в тексте. Если далее вы собираетесь обращаться к объекту, используя общеизвестную аббревиатуру, вы должны указать эту аббревиатуру в скобках, так чтобы читатели знали что искать позже.

• Пример: Сотрудники и волонтеры Лиги Зашиты Животных (ЛЗЖ) надеются уменьшить и, в конечном счете, ликвидировать случаи жестокого обращения с животными и ненадлежащего обращения в рамках сообщества.

Упоминание знаменательных дат. Хотя это не всегда необходимо, в определенных контекстах, вам может потребоваться указать дату рождения и/или дату смерти определенного лица, о котором вы упоминаете в тексте. Такие даты нужно заключить в скобки.

• Пример: Джейн Остин (1775-1817) известна своими литературными работами «Гордость и предубеждение» и «Разум и чувства»
• Джордж Мартин (д.р. 1948) является человеком, положившим начало популярного сериала «Игра престолов».

Использование вводных цитат. В научной литературе, вводные цитаты должны быть включены в текст, когда вы напрямую или косвенно цитируете другую работу. Эти цитаты содержат библиографическую информацию и должны быть заключены в скобки сразу после заимствованной информации.

• Пример: Исследования показывают, что существует связь между мигренью и клинической депрессией (Смит, 2012).
• Пример: Исследования показывают, что существует связь между мигренью и клинической депрессией (Смит 32).
• Для получения дополнительной информации о правильном использовании в тексте вводных цитат смотрите «Как правильно использовать цитаты в тексте».

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Везде. Везде и всюду, куда ни глянь, встречаются вот такие конструкции:

«Конструкции» эти у грамотных людей вызывают неоднозначную реакцию. Как минимум типа «неужели так - правильно?».
Вообще лично я не могу понять, откуда пошла «мода» не закрывать внешние кавычки. Первая и единственная приходящая по этому поводу аналогия - аналогия со скобками. Никто же не сомневается, что две скобки подряд - это нормально. Например: «Оплатить весь тираж (200 шт. (из них 100 - брак))». А вот в нормальности постановки двух кавычек подряд кто-то засомневался (интересно, кто первый?)… И теперь все поголовно стали с чистой совестью плодить конструкции типа ООО "Фирма "ПупковЪ и Ко".
Но даже если вы в жизни не видели правила, о котором речь пойдет чуть ниже, то единственным логически обоснованным вариантом (на примере скобок) был бы следующий: ООО "Фирма "ПупковЪ и Ко"".
Итак, непосредственно правило:
Если в начале или в конце цитаты (то же относится к прямой речи) встречаются внутренние и внешние кавычки, то они должны различаться между собой рисунком (так называемые «елочки» и «лапочки»), причем внешние кавычки не должны опускаться, например: С борта парохода передали по радио:«„Ленинград“ вошел в тропики и следует дальше своим курсом». О Жуковском Белинский пишет: «Современники юности Жуковского смотрели на него преимущественно как на автора баллад, и в одном своем послании Батюшков называл его „балладником“».
© Правила русской орфографии и пунктуации. - Тула: Автограф, 1995. - 192 с.
Соответственно... если у вас нет возможности набрать кавычки-«елочки», то, что уж поделаешь, придется пользоваться такими "" значками. Однако, невозможность (или нежелание) использовать русские кавычки отнюдь не является причиной, по которой можно не закрывать внешние кавычки.

Таким образом с неверностью констукции ООО "Фирма "ПупковЪ и Ко" вроде бы разобрались. Встречаются еще конструкции вида ООО «Фирма «ПупковЪ и Ко».
Из правила совершенно понятно, что и такие конструкции безграмотны... (Правильно: ООО «Фирма „ПупковЪ и Ко“»

Однако!
В «Справочнике издателя и автора» А. Э. Мильчина (издание 2004 года) указано, что можно использовать два варианта оформления в подобных случаях. Использование «елочек» и «лапок» и (при отсутствии технических средств) использование только «елочек»: двух открывающих и одной закрывающей.
Справочник это «свежий» и лично у меня тут сразу появляется 2 вопроса. Во-первых, с какой все же радости можно использовать одну закрывающую кавычку-елочку (ну нелогично это, см. выше), а во-вторых, особо обращает на себя внимание фраза «при отсутствии технических средств». Это как, простите? Вот откройте Notepad и наберите там «только елочки: две открывающие и одну закрывающую». На клавиатуре таких символов нет. Напечатать «елочку» не получается... Сочетание Shift + 2 выдает знак " (который, как известно, и кавычкой-то не является). А теперь откройте Microsoft Word и снова нажмите Shift + 2. Программа исправит " на « (или »). Что же, получается что существовавшее не один десяток лет правило взяли и переписали под Microsoft Word? Мол, раз ворд из "Фирма "ПупковЪ и Ко" делает «Фирма «ПупковЪ и Ко», то пусть теперь это будет допустимо и корректно???
Похоже, что так. А если это так, то есть все основания усомниться в правильности подобного нововведения.

Да, и еще одно уточнение... про то самое «отсутствие технических средств». Дело в том, что на любом компьютере с Windows всегда имеются «технические средства» для ввода и «елочек», и «лапок», так что это новое «правило» (для меня оно - именно в кавычках) неверно изначально!

Все специальные символы шрифта можно легко набрать, зная соответствующий номер этого символа. Достаточно зажать Alt и набрать на NumLock-клавиатуре (NumLock нажат, индикаторная лампочка горит) соответствующий номер символа:

„ Alt + 0132 (левая «лапка»)
“ Alt + 0147 (правая «лапка»)
« Alt + 0171 (левая «елочка»)
» Alt + 0187 (правая «елочка»)

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений . Например , в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение : В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой - пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) - напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей .

Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение : Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение : У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку - каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
- сначала первое…

Потом второе.

Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\) . Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\) . А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\) . Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
- внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
- раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение , просто переписывая его как есть.
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.

Раскрытие скобок - это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.