Парадокс голосования - ситуация, когда выбор той или иной процедуры голосования оказывает влияние на общественное решение. Ниже рассмотрены три парадокса голосования: парадоксы Кон- дорсе (при неполном голосовании и попарном сравнении альтернатив) и парадокс многоуровневого делегирования голосов. Парадоксы Кондорсе называют также парадоксами циклического голосования.

Парадокс Кондорсе при неполном голосовании. Рассматривается случай, когда три участника голосования А, В и С оценивают альтернативы К, L и М. Каждый индивид упорядочивает эти альтернативы по степени предпочтительности. Наиболее предпочтительной альтернативе он присваивает ранг 1, менее предпочтительной - ранг 2 и т.д. Индивидуальные предпочтения индивидов представлены в табл. 6.4. Индивидам необходимо выбрать одну альтернативу, используя процедуру Борда. Поскольку сумма рангов каждой альтернативы равна шести, а разброс рангов одинаков, данная процедура голосования в ее классическом виде не позволяет выбрать единственную альтернативу. Предположим, что организатор общественного выбора (председатель собрания) имеет полномочия упорядочить альтернативы на основе результатов неполного голосования - процедуры голосования, в которой не участвует один из индивидов. Результаты неполного голосования поддерживаются двумя третями всех индивидов, т.е. конституционным большинством. Рассмотрим два возможных сценария организации голосования.

Сценарии /. Сначала голосование проводится без индивида В, причем сравниваются альтернативы К и L. Как следует из табл. 6.4, каждый из двух голосующих индивидов А и С отдает предпочтение альтернативе К. Далее голосование проводится без индивида А, причем сравниваются альтернативы М и К. Как следует из таблицы, каждый

из двух голосующих отдает предпочтение альтернативе М. Объединяя результаты двух неполных голосований, получаем следующее расположение альтернатив по убыванию предпочтительности: М, К, L. Выбирается альтернатива М.

Сценарий 2. Сначала голосование проводится без индивида А, причем сравниваются альтернативы К и L. Сумма рангов альтернативы К равна пяти, а альтернативы L - четырем. Поэтому альтернатива L предпочтительнее. Далее голосование проводится без индивида В, причем сравниваются альтернативы М и К. Сумма рангов альтернативы М равна четырем, а альтернативы К - трем. Поэтому альтернатива К предпочтительнее. Объединяя результаты двух неполных голосований, получаем следующее расположение альтернатив по степени убывания предпочтительности: L, К, М. Выбирается альтернатива L.

Итак, делая выбор в пользу одного из двух рассмотренных сценариев, организатор голосования может манипулировать его итогами, т.е. единолично влиять на общественный выбор.

Парадокс Кондорсе при попарном сравнении альтернатив. В табл. 6.5 представлена матрица Кондорсе, полученная в результате попарного сравнения альтернатив. Единичное значение элемента к этой матрицы означает, что альтернатива К предпочтительнее альтернативы L. Единичное значение элемента к 2 з означает, что альтернатива L предпочтительнее альтернативы М. Единичное значение элемента к^ означает, что альтернатива М предпочтительнее альтернативы К. Мы пришли к абсурдному выводу, что альтернатива К одновременно является наиболее и наименее предпочтительной. Налицо случай так называемого циклического голосования , когда можно доказать, что любая альтернатива предпочтительнее любой другой альтернативы.

Матрица Кондорсе не содержит внутреннего противоречия, т.е. позволяет единственным способом расположить альтернативы по убыванию предпочтительности, если выполняются два условия.

Парадокс Конлорсе при попарном сравнении альтернатив

• 1. Имеется альтернатива - ей соответствует строка, все элементы которой равны единице за исключением диагонального, и столбец, все элементы которого равны нулю. Эта альтернатива является наиболее предпочтительной.
• 2. Если вычеркнуть указанные выше строку и столбец, то полученная матрица меньшей размерности удовлетворяет предыдущему условию, и т.д.

Парадокс многоуровневого делегирования голосов. Рассмотрим случай, когда имеются четыре уровня делегирования голосов. На низшем уровне жители каждого дома избирают своего представителя в городское собрание. Члены городского собрания избирают своего представителя в парламент, который избирает президента страны. Предположим, что каждый житель поддерживает одну из двух политических партий и голосует за представителя этой партии. На рис. 6.3 каждый индивид изображен кружком; цвет кружка соответствует поддерживаемой им партии. Как следует из рисунка, среди жителей преобладают сторонники «белой» партии - их число составляет 19 из 27, или 70%. Вместе с тем процедура многоуровневого делегирования голосов в данном случае обеспечивает должность президента представителю «черной» партии, которая нс пользуется поддержкой большинства жителей. Заметим, что при выборе представителей использовался принцип простого (и даже конституционного) большинства. Таким образом, выбор способа формирования избирательных участков и округов может оказать влияние на окончательные результаты общественного выбора.

Тех, кто хотел бы узнать больше о такой, казалось бы, ничтожной теме, как простая голосовалка - приглашаю под кат.

Дисклаймер

Статья не претендует на историческую и научную точность. У автора нет научных публикаций и прочих заслуг по данной теме. Тем не менее, автор считает данную тему важной.

Проверяем хабр

Единственное упоминание о парадоксе Кондорсе (не путать с теоремой Кондорсе о жюри присяжных) есть в комментарии пользователя TimTowdy .

Немного о Кондорсе

КОНДОРСЕ Жан Антуан Никола., (1743-1794) - математик, экономист, философ, политический деятель (скорее, оппозиционер эпохи свержения французской монархии), автор книги "Эскиз исторической картины прогресса человеческого разума. " (1794) (Вдумайтесь в название!). Хотя он был не только и не столько математиком, остановимся только на математической стороне его личности. Отметим лишь, что политика, в конечном итоге, стала причиной его гибели.

Жан был дружен с Д"Аламбером, который был старше его на 26 лет, и Лагранжем. В 23 года он представил свой первый труд, посвященный интегральному исчислению, который закономерно получил лучшие отзывы Д"Аламбера и Лагранжа. Через 4 года он стал членом Французской АН, где на него возлагали надежды, связанные с расчетом траекторий комет. Однако Жан Антуан не стремился к полному погружению в математическую теорию, а продолжал участие в светской, политической жизни и азартных играх, по причине чего постепенно сместился к теории вероятности. В 1785 году он опубликовал работу, обозначив в ней понятие Паpадокса Кондоpсе (или Эффекта Кондорсе ). Работа была посвящена пpоблемам пpинятия коллективных pешений в ходе выбоpов депутатов пpовинциальных ассамблей . Также следует упомянуть, что с 33-х лет он был членом Петербургской АН.

В чем смысл

Представим себе группу из 10-ти участников, из которых трое являются лояльными к употреблению алкогольных напитков (для краткости, алкоголики), и семеро - непримиримыми противниками (для краткости, трезвенники). Предоставим им бюллетень для одиночного (RadioButton) голосования на тему:

Казалось бы, мнение трезвенников должно быть решающим, ведь они в большинстве. Но!

Смотрим результаты

Каких напитков должно быть больше на полках магазинов

Что дальше

Важно упомянуть Теорему Эрроу , согласно которой число пунктов репрезентативной голосовалки должно быть равно одному (лайк-дислайк) или двум. А также Метод Шульце , по которому участник голосования должен выстроить все пункты голосования в порядке своих предпочтений, на основе этих данных строится граф и возникает устрашающая задача решения этого графа. Также, соответствующие ссылки у ЖЖ-юзера falcao.

Заметки на полях

Подчеркнем важность понятия дислайков (пункта «против»). Это не просто выражение мнения недовольных и скептичных, а важный элемент репрезентативности.

<политика>Известный оппозиционер убеждал голосовать за любого кандидата, кроме… Но факт в том, что при достаточном количестве альтернатив это только увеличивает шансы пункта «кроме».

Наиболее интересными в плане перспектив обсуждения являются «спорные» комментарии, которые набрали максимальное количество лайков+дислайков в примерно равной пропорции. Есть смысл выносить эти данные в рейтинги.

UPD:
Спасибо уважаемому неизвестному участнику, подарившему мне инвайт! Благодарен, за оказанную мне честь в виде принятия в почетное хабра-сообщество.

На этом уроке мы поговорим о проблеме выбора. С этой проблемой мы сталкиваемся каждый день: во время похода в магазин, выбора места для отдыха, голосования за старосту в классе. Но, оказывается, эта проблема существует и на уровне государства, а именно: при выборах президента, парламента, мэра города.

Сложности, которые возникают при выборе, описываются парадоксом Кондорсе (парадоксом противоречия ). Замечание, которое послужит интригой, для интереса. Идет Великая Французская революция, Кондорсе участвует в этих событиях, причём на высшем уровне. И вдруг он начинает заниматься этим парадоксом. Оказывается, его решение нужно - без него никак не получаются разумные выборы. Кругом бегают, стреляют, гильотина и прочее, а он занимается математикой (как оказалось, самым важным). Понимание того, какими должны быть выборы в демократическом государстве, во многом пришло из Франции после Французской революции. И важную роль в этом сыграла работа Кондорсе.

Рассмотрим такой пример. Есть три кандидата на выборах: , , . После голосования получили такое распределение голосов (Рис. 1).

Кажется, что кандидат должен стать президентом. Но представим, что будет проведен второй тур. В нем примут участие два кандидата, набравших в первом туре наибольшее количество голосов: кандидаты и . Может оказаться, что избиратели кандидата примут сторону кандидата (Рис. 2).

Получилось, что президентом должен быть кандидат . Как могли получиться два таких противоречивых результата?

Теперь предположим, что когда мы опрашиваем людей, мы узнаем не только, кого бы они выбрали, но и кто им больше нравится из остальных кандидатов. То есть предлагаем каждому избирателю расположить кандидатов в порядке убывания их привлекательности (Рис. 3).

Рис. 3. Результаты опроса

Видим по таблице, что в первом туре победил бы кандидат (за него 23 избирателя). Во втором туре (Рис. 4) побеждает кандидат (за него 35 избирателей).

А теперь давайте попарно сравним кандидатов. Сравнивая и , получаем: . А при сравнении кандидатов и с получаем, что побеждает оба раза: , . То есть правила проведения выборов полностью определяют победителя. В нашем примере каждый из кандидатов мог бы выиграть.

Рассмотрим пример, который ближе к нашей повседневной жизни. Есть три человека, которые хотят поехать куда-то отдохнуть. Каждый из них предлагает свой вариант отдыха: на море, в лес, в горы. Как выбрать? Кажется, что сделать выбор здесь невозможно. Обычно в такой ситуации мы предлагаем два дня провести в одном месте, потом три в другом и т.п. Но может быть и ситуация, когда разделить на части не получится (например, есть маленькая сумма денег и каждый хочет купить что-то свое).

Один из вариантов решения, оценить свой выбор в процентах (Рис. 5).

Рис. 5. Результаты выбора

При таком варианте маловероятно, что не определится победитель. Но в этом выборе есть проблема: два человека им всё равно не будут удовлетворены.

Ещё один пример. Представьте, что вы выбираете пальто. Есть три варианта . При этом теплее , теплее , то есть пока можно остановить выбор на . Но намного красивее , поэтому возможен вариант, при котором вы выберете его. Мы получили, что и . Парадокс Кондорсе как раз рассматривает такие циклические предпочтения. В данном отношении нарушается транзитивность .

Теперь мы знаем, что такая проблема существует. Давайте порассуждаем, почему она возникает, когда и как ее можно решать. Отличие задачи про пальто от привычного нам сравнения (яблоко тяжелее груши, груша тяжелее апельсина, значит, яблоко тяжелее апельсина ) в том, что выбор осуществляется по двум параметрам. Если бы мы выбирали самое теплое пальто, то выбрали бы , если самое красивое, то . А вот при выборе лучшего варианта для нас происходит перескок: сначала нам нужно определиться, какой параметр для нас важнее.

Можно взять пример из спорта. В беге, кто быстрее пробежит, тот и выигрывает. Здесь все просто, так как выбор основан на одном параметре - времени. А в фигурном катании параметров намного больше: артистизм, техника, сложность и т.д. Поэтому в таких видах спорта часто возникают споры о победителях. Итак, существует общая проблема выбора по нескольким параметрам.

Вернёмся к Французской революции. Во время неё был выдвинут лозунг: «Свобода, равенство и братство». Но свобода и равенство часто входят в противоречие. Равенство подразумевает справедливость, а свобода - свободу, каждый может делать, что хочет. В результате те, кто за равенство, больше склонны к регулированию, то есть к ограничению свободы. Одни люди за то, чтобы все зарабатывали немного, рублей, но одинаково. А другие за то, чтобы кто-то зарабатывал больше, рублей, если при этом он сам будет получать рублей. Это вполне естественно, вопрос только в том - что делать, чтобы разрешить эти противоречия?

Один из вариантов мы уже рассмотрели: это ранжирование с указанием процентного предпочтения. Например, указать, что красота пальто важна для меня на , а то, насколько оно теплое, - на . То есть мы вводим единую меру (проценты), тогда сравнение становится линейным (по одному параметру), а для него транзитивность выполнена. Обратите внимание, что мы фактически вышли за рамки поставленной задачи: расширили её, ввели единую меру. Главное условие для такого решения - чтобы все участники приняли эту меру. В противном случае возникают конфликты, например, политические. Один - за свободу, другой - за равенство. Если не выйти за рамки этих различий, то останется один вариант - переубеждение, причём чаще всего силой (так возникают гражданские войны). Если же удаётся выйти за рамки задачи (например, поделить землю пропорционально интересам людей), то можно найти мирный выход: Чехословакия разделилась на Чехию и Словакию. Муж с женой для мирного решения конфликтов разводятся (выходят за рамки брака), если напрямую решить задачу примирения не удаётся.

Самая простая нетранзитивная игра известна нам с детства - «камень, ножницы, бумага» (Рис. 6).

Рис. 6. Игра «камень, ножницы, бумага»

И хотя условие о победе бумаги над камнем кажется неестественным, это важный элемент для игры. Именно цикличность позволяет играть, так как случайность выбора двух игроков означает непредсказуемость результата. Если бы не было цикличности, то всегда можно выбирать выигрышный вариант.

Вспомним о дилемме заключенного. Дилемма заключенного - это фундаментальная проблема в теории игр, согласно которой игроки не всегда будут сотрудничать друг с другом, даже если это в их интересах. Предполагается, что игрок («заключенный») максимизирует свой собственный выигрыш, не заботясь о выгоде других.

Если играть много раз, то можно начать предсказывать исходы, анализируя логику противника. Эту же идею можно использовать и в других играх, например, в игральных кубиках. Пусть у нас будут не обычные кубики, а такие, как представлено на рисунке (Рис. 7).

Парадокс Кондорсе. Суть парадокса Кондорсе (парадокс голосования) состоит в выявлении предпочтений общества, где не существует единодушия по поводу принятия тех или иных альтернативных программ, т. е. в выборе оптимальной программы общественных предпочтений.

Из микроэкономики известно, что индивиды поступают рационально при выборе между различными альтернативами. Например, если вы яблоки любите больше, чем груши, а груши - больше, чем апельсины, то при выборе между яблоками и апельсинами вы предпочтете яблоки.

Если человек в состоянии осуществить рациональный выбор, то и общество в целом способно осуществить такой коллективный рациональный выбор.

Коллективный рациональный выбор может быть осуществлен по принципу большинства при голосовании за одну программу или между двумя программами. На практике приходится осуществлять выбор между несколькими программами.

Допустим, необходимо выбрать одну из трех альтернативных программ (А, В, С), которые представлены одинаковыми по численности группами (Красновым, Черновым и Беловым). Предпочтения избирателей по этим программам А, В, С ставят их на 1-е, 2-е или 3-е место. Эти предпочтения представлены в табл. 17.1.

Таблица 17.1

Предпочтения избирателей в случае очевидного большинства голосов

В случае очевидного большинства из табл. 17.1 видно, что общество (большинство избирателей) твердо предпочтут программу А. Эта программа стоит на первом месте у Краснова и Чернова, т. е. большинство голосов в этом случае позволило сразу выявить “победителя” среди других программ.

Но может сложиться ситуация, когда отсутствует очевидное большинство и предпочтения избирателей между этими программами могут быть расположены по-другому, как представлено в табл. 17.2.

Таблица 17.2

Предпочтения избирателей в случае отсутствия очевидного большинства голосов(парадокс голосования)

	Ранги трех альтернативных программ

В этом случае возможны несколько вариантов попарного голосования и, соответственно, несколько вариантов исхода окончательного голосования.

Первый вариант: Вначале делается выбор между программами А и В. Очевидно, что большинством голосов выберут программу А, поскольку Краснов и Белов предпочитают эту программу, ставя ее соответственно на 1-е и 2-е места.

Затем делается выбор между программами В и С. В этом случае очевидно, что выберут программу В, поскольку Краснов и Чернов предпочтут эту программу, ставя ее на 1-е и 2-е места.

Второй вариант: Вначале делается выбор между программами А и С. Выберут программу С, поскольку Чернов и Белов за программу С.

Затем делается выбор между программами В и С. Выберут программу В, поскольку Краснов и Чернов за программу В.

Таким образом, общество будет бесконечно двигаться по кругу, поскольку попарное голосование превращается в бесконечный цикл.

Теория общественного выбора рассматривает эту проблему как парадокс Кондросе, или как проблему “манипулирования повесткой дня”. Парадокс Кондорсе показывает возможности председательствующего, чтобы протащить нужную ему программу.

Например, чтобы поддержать программу А, он устанавливает следующую процедуру голосования:

На первом этапе, если известно, что между программами А и С избиратели проголосуют за программу С, то против программы С нужно выставить хорошо подобранную программу В и проголосовать вначале между В и С. В этом случае выиграет программа В, а программа С выбывает из дальнейшей процедуры голосования.

На втором этапе, если выбирать между программами А и В, то с учетом итогов первого тура выиграет программа А, что и требовалось манипулятору (председательствующему).

Парадокс Кондорсе может рассматриваться как частный случай теоремы невозможности американского экономиста К. Эрроу.

В соответствии с теорией невозможности К. Эрроу рациональный коллективный выбор основан на пяти аксиомах, которые обобщены американским экономистом, лауреатом Нобелевской премии У. Викри:

• 1. Аксиома коллективной рациональности. Эта аксиома означает, что коллективный выбор должен быть осуществим для любой комбинации предпочтений участников голосования, т. е. свобода принятия решений для отдельных субъектов не ограничена.
• 2. Аксиома единогласия. Если каждый избиратель предпочитает альтернативу А альтернативе В, то это должно быть верно и для общества в целом.
• 3. Аксиома транзитивности. Если общество в целом предпочитает альтернативу А альтернативе В, а альтернативу В альтернативе С, то оно должно предпочитать альтернативу А альтернативе С.
• 4. Аксиома независимости от внешних альтернатив. Если избиратели осуществляют выбор между альтернативой А и альтернативой В, то этот выбор не зависит от альтернативы С.
• 5. Аксиома отказа от диктатуры. Эта аксиома означает, что никакой индивид (диктатор) не может навязать свои предпочтения обществу.

Первые четыре аксиомы, как показали исследования Эрроу, соответствуют диктаторским требованиям при осуществлении коллективного выбора. Это означает, что при демократическом правиле голосования процесс рационального коллективного выбора неосуществим, а соблюдение же всех пяти аксиом делает коллективный рациональный выбор невозможным.

Теория невозможности К. Эрроу гласит: не существует рационального правила коллективного выбора, учитывающего мнение всех членов общества.

Таким образом, представители теории общественного выбора считают, что в условиях демократии решения, принятые коллективно, совсем не обязательно будут рациональными или эффективными. Этот вывод показывает лишь несовершенство демократических процедур, но это не означает, что нужно отказываться от коллективного выбора.

Согласно пpинципу Кондорсе для опpеделения истинной воли большинства необходимо (в отличие от стандаpтных методов избpания депутата относительным или абсолютным большинством голосов), чтобы каждый голосующий пpоpанжиpовал всех кандидатов в поpядке их пpедпочтения. Это в корне отличается от принятых сегодня в России методов избрания президента [ ТСДНЭ ] , депутата или губернатора [ ТСДНЭ ] относительным или абсолютным большинством голосов.

Рассмотpим для лучшего понимания пpинципа Кондоpсе числовой пpимеp из его pаботы.

Будем использовать общепpинятые обозначения. Выpажение A > B > C означает, что голосующий пpедпочитает кандидата A кандидату B, а кандидата B - кандидату С.

23 человека: A > C > B 19 человек: B > C > A 16 человек: C > B > A 2 человека: C > A > B

Пpи сpавнении A с B имеем:

23 + 2 = 25 человек за то, что A > B; 19 + 16 = 35 человек за то, что B > A.

По теpминологии Кондоpсе мнение большинства состоит в том, что В лучше А.

Сpавнивая А и С, будем иметь:

23 человека за то, что A > C; 37 человек за то, что C > A.

Отсюда, по Кондоpсе, заключаем, что большинство пpедпочитает кандидата С кандидату А.

Наконец, сpавним С с В:

19 человек за то, что B > C; 41 человек за то, что C > B.

Таким обpазом, по Кондоpсе воля большинства выpажается в виде тpех суждений: C > B; B > A; C > A, котоpые можно объединить в одно отношение пpедпочтения C > B > A и если необходимо выбpать одного из кандидатов, то, согласно пpинципу Кондоpсе, следует пpедпочесть кандидата С.

Сpавним этот вывод с возможным исходом голосования по мажоpитаpной системе [ ТСДНЭ ] относительного или абсолютного большинства. Для вышепpиведенного пpимеpа голосование по системе относительного большинства даст такие pезультаты: за А - 23 человека, за В - 19 человек, за С - 18 человек. Таким обpазом, в этом случае победит кандидат А.

Таким обpазом, пpавила игpы будут опpеделять победителя, и эти победители будут pазными пpи pазличных пpавилах голосования.

В другом примере, рассмотренном Кондорсе, по итогам голосования выделяются тpи утвеpждения: B > C, C > A, A > B. Но вместе эти утвеpждения пpотивоpечивы. В этом и состоит паpадокс (эффект) Кондоpсе (или паpадокс голосования). В этом случае оказывается невозможным пpинять какое-то согласованное pешение и опpеделить волю большинства. В дpугой фоpме паpадокс Кондоpсе возникает пpи постатейном пpинятии некотоpого постановления или закона, когда каждая из статей закона пpинимается большинством голосов, а поставленный на голосование закон в целом отвеpгается (иногда даже стопpоцентным большинством голосующих).

Тpетьей веpсией паpадокса Кондоpсе является пpинятие таких коллективных pешений, котоpые на индивидуальном уpовне не поддеpживал ни один из голосующих. Пусть у нас имеются три человека, голосующих по трем вопросам. Первый их них голосует «да-да-нет», второй - «да-нет-да», третий - «нет-да-да». Суммарный итог голосования подсчитывается как соотношение сумм голосов «да» и «нет» по каждому из вопросов. В рассмотренном случае суммарный итог голосования будет «да-да-да». Этот итог не отражает мнения ни одного из голосовавших и, естественно, не удовлетворяет никого.