Подарки и советы

Множество идей оригинальных и приятных подарков по любому событию и на все случаи жизни

Психология. Недвижимость. Здоровье. Отношения

Основные задачи на построение. "построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки"

§ 5 173

одного циркуля - не проводя самого отрезка. Вот решение этой задачи. Опишем окружность радиусом AB с центром B и на нем, отправляясь от A, как раньше, отмерим последовательно три дуги радиусом AB. Последняя точка C будет лежать

на прямой AB, причем мы бу-

дем иметь: AB = BC. Затем опи-

шем окружность радиуса AB с

центром A и построим точку C0 ,

обратную точке C относитель-

но этой окружности. Тогда полу-

AC0 · AC = AB2 ,

AC0 · 2AB = AB2 ,

2AC0 = AB.

Значит, C0 есть искомая середина

Рис. 44. Нахождение середины отрезка

Другое построение с помо-

щью одного циркуля, также использующее обратные точки, заключается в нахождении центра данной окружности, когда начерчена только сама окружность, а центр неизвестен. Берем про-

извольную

на окружности и около нее как центра

описываем круг произвольного радиу-

са, пересекающийся с данным кругом в

точках R и S. Из этих последних то-

чек как центров описываем дуги ради-

усом RP = SP , пересекающиеся, кроме

точки P , еще в точке Q. Сравнивая то,

что получилось, с рис. 41, мы видим,

что неизвестный центр Q0 есть точка,

обратная точке Q относительно окруж-

Рис. 45. Нахождение

ности с центром P , и Q0 может быть, как

мы видели, построена с помощью одного

§ 5. Построения с помощью других инструментов. Построения Маскерони с помощью одного циркуля

*1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба. Мы рассматривали до сих пор только проблемы геометрических построений без использования иных инструментов, кроме циркуля и линейки. Если допускаются и другие инструменты, то, разумеется, разнообра-

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

Рис. 46. Инструмент, служащий для удвоения куба

зие возможных построений сильно увеличивается. Следующий пример может служить образцом того, как греки решали проблему удвоения куба. Рассмотрим (рис. 46) жесткий прямой угол MZN и подвижной прямоугольный крест V W , P Q. Двум дополнительным стержням RS и T U предоставлена возможность скользить, оставаясь перпендикулярными к сторонам прямого угла. На кресте пусть выбраны фиксированные точки E и G, причем расстояния GB = a и BE = f заданы. Располагая крест таким образом, чтобы точки E и G соответственно лежали на NZ и MZ, и перемещая стержни T U и RS, можно весь аппарат привести в такое положение, чтобы лучевые перекладины креста BW , BQ, BV проходили через вершины A, D, E прямоугольника ADEZ. Указанное на чертеже расположение всегда возможно при условии f > a. Мы видим сразу, что a: x = x: y = y: f, откуда, в частности, если положено f = 2a, получается x3 = 2a3 . Значит, x есть ребро куба, объем которого вдвое больше, чем объем куба с ребром a. Таким образом, поставленная задача

§ 5 ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДРУГИХ ИНСТРУМЕНТОВ 175

2. Построения с помощью одного циркуля. Если вполне естественно, что с допущением большего разнообразия инструментов оказывается возможным решать более обширное множество задач на построение, то можно было бы предвидеть, что, напротив, при ограничениях, налагаемых на инструменты, класс разрешимых задач будет суживаться. Тем более замечательным нужно считать открытие, сделанное итальянцем Маскерони (1750–1800): все геометрические построения, выполнимые с помощью циркуля и линейки, могут быть выполнены с помощью одного только циркуля. Следует, конечно, оговорить, что провести на самом деле прямую линию через две данные точки без линейки невозможно, так что это основное построение не покрывается теорией Маскерони. Вместо того приходится считать, что прямая задана, если заданы две ее точки. Но с помощью одного лишь циркуля удается найти точку пересечения двух прямых, заданных таким образом, или точку пересечения прямой с окружностью.

Вероятно, простейшим примером построения Маскерони является удвоение данного отрезка AB. Решение было уже дано на стр. 166 . Далее, на стр.167 мы научились делить данный отрезок пополам. Посмотрим теперь, как разделить пополам дугу окружности AB с центром O.

описание этого построения (рис. 47).

Радиусом AO проводим две дуги с

центрами A и B. От точки O откла-

дываем на этих дугах две такие ду-

ги OP и OQ, что OP = OQ = AB. За-

тем находим точку R пересечения ду-

ги с центром P и радиусом P B и дуги

с центром Q и радиусом QA. Наконец,

взяв в качестве радиуса отрезок OR,

опишем дугу с центром P или Q до

пересечения с дугой AB - точка пе-

Рис. 47. Нахождение середины ду-

ресечения и является искомой сред-

ги без линейки

ней точкой дуги AB. Доказательство

предоставляем читателю в качестве упражнения.

Было бы невозможно доказать основное утверждение Маскерони, указывая для каждого построения, выполнимого с помощью циркуля и линейки, как его можно выполнить с помощью одного циркуля: ведь возможных построений бесчисленное множество. Но мы достигнем той же цели, если установим, что каждое из следующих основных построений выполнимо с помощью одного циркуля:

1. Провести окружность, если заданы центр и радиус.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

2. Найти точки пересечения двух окружностей.

3. Найти точки пересечения прямой и окружности.

4. Найти точку пересечения двух прямых.

Любое геометрическое построение (в обычном смысле, с допущением циркуля и линейки) составляется из выполнения конечной последовательности этих элементарных построений. Что первые два из них выполнимы с помощью одного циркуля, ясно непосредственно. Более трудные построения 3 и 4 выполняются с использованием свойств инверсии, рассмотренных в предыдущем пункте.

Рис. 48. Пересечение окружности

Рис. 49. Пересечение окружно-

прямой, не проходящей через

сти и прямой, проходящей через

Обратимся к построению 3: найдем точки пересечения данной окружности C с прямой, проходящей через данные точки A и B. Проведем дуги с центрами A и B и радиусами, соответственно равными AO и BO; кроме точки O, они пересекутся в точке P . Затем построим точку Q, обратную точке P относительно окружности C (см. построение, описанное на стр. 167 ). Наконец, проведем окружность с центром Q и радиусом QO (она непременно пересечется с C): ее точки пересечения X и X0 с окружностью C и будут искомыми. Для доказательства достаточно установить, что каждая из точек X и X0 находится на одинаковых расстояниях от O и P (что касается точек A и B, то аналогичное их свойство сразу вытекает из построения). Действительно, достаточно сослаться на то обстоятельство, что точка, обратная точке Q, отстоит от точек X и X0 на расстояние, равное радиусу окружности C (см. стр.165 ). Стоит отметить, что окружность, проходящая через точки X, X0 и O, является обратной прямой AB в инверсии относительно круга C, так как эта окружность и прямая AB пересекаются с C в одних и тех же точках. (При инверсии точки основной окружности остаются неподвижными.)

Рис. 50. Пересечение двух прямых

§ 5 ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДРУГИХ ИНСТРУМЕНТОВ 177

Указанное построение невыполнимо только в том случае, если прямая AB проходит через центр C. Но тогда точки пересечения могут быть найдены посредством построения, описанного на стр. 169 , как середины дуг C, получающихся, когда мы проводим произвольную окружность с центром B, пересекающуюся с C в точках B1 и B2 .

Метод проведения окружности, обратной прямой, соединяющей две данные точки, немедленно дает и построение, решающее задачу 4. Пусть прямые даны точками A, B и A0 , B0 (рис. 50). Проведем произвольную окружность C и с помощью указанного выше метода построим окружно-

обратные прямым AB и A0 B0 . Эти

окружности пересекаются в точке O

и еще в одной точке Y . Точка X, об-

ратная точке Y , и есть искомая точ-

ка пересечения: как ее построить -

уже было разъяснено выше. Что X

есть искомая точка, это ясно из то-

го факта, что Y есть единственная

точка, обратная точке, одновременно

принадлежащей обеим прямым AB

и A0 B0 ; следовательно, точка X, об-

ратная Y , должна лежать одновре-

менно и на AB, и на A0 B0 .

Этими двумя построениями за-

канчивается доказательство эквивалентности между построениями Мас-

керони, при которых разрешается пользоваться только циркулем, и обыкновенными геометрическими построениями с циркулем и линейкой.

Мы не заботились об изяществе решения отдельных проблем, нами здесь рассмотренных, так как нашей целью было выяснить внутренний смысл построений Маскерони. Но в каче-

X стве примера мы еще укажем пятиугольни-

ка; точнее говоря, речь идет о нахождении

каких-то пяти точек на окружности, кото-

рые могут служить вершинами правильно-

го вписанного пятиугольника.

Пусть A - произвольная точка окруж-

ности K. Так как сторона правильного

вписанного шестиугольника равна радиусу

круга, то не представит труда отложить

на K такие точки B, C, D, что ^ AB =

K ^ BC = ^ CD = 60 ◦ (рис. 51). Проведем

дуги с центрами A и D радиусом, рав-

Рис. 51. Построение правильного пятиугольника

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

ным AC; пусть они пересекаются в точ-

ке X. Тогда, если O есть центр K, дуга с

центром A и радиусом OX пересечет K в точке F , являющейся серединой дуги BC (см. стр. 169 ). Затем радиусом, равным радиусу K, опишем дуги с центром F , пересекающиеся с K в точках G и H. Пусть Y есть точка, расстояния которой от точек G и H равны OX и которая отделена от X центром O. В таком случае отрезок AY как раз и есть сторона искомого пятиугольника. Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения. Интересно отметить, что при построении используются только три различных радиуса.

В 1928 г. датский математик Ельмслев нашел в книжной лавке в Копенгагене экземпляр книги под названием Euclides Danicus, опубликованной в 1672 г. никому не известным автором Г. Мором. По титульному листу можно было сделать заключение, что это - просто один из вариантов евклидовых «Начал», снабженный, может быть, редакторским комментарием. Но при внимательном рассмотрении оказалось, что в ней содержится полное решение проблемы Маскерони, найденное задолго до Маскерони.

Упражнения. В дальнейшем дается описание построений Мора. Проверьте их правильность. Почему можно утверждать, что они решают проблему Маскерони?

1) К отрезку AB длины p восставите перпендикуляр BC. (Указание: продолжите AB до точки D таким образом, что AB = BD. Проведите произвольным радиусом дуги с центрами A и D и таким образом определите C.)

2) В плоскости даны как угодно расположенные отрезки длины p и q,

причем p > q. Постройте с помощью 1) отрезок длины x = p2 − q2 .

3) По заданному отрезку a постройте отрезок a 2. (Указание: обратите

√ √

внимание, что (a 2)2 = (a

3)2 − a2 .)

4) По данным отрезкам p и q постройте отрезок x =

p2 + q2

. (Указание:

примите во внимание, что

x2 = 2p2

Придумайте сами аналогич-

ные построения.

5) Пользуясь предыдущими результатами, постройте отрезки p + q и p − q, предполагая, что отрезки длины p и q заданы как-то на плоскости.

6) Проверьте и постарайтесь обосновать следующее построение середины M данного отрезка AB длины a. На продолжении отрезка AB найдем такие точки C и D, что CA = AB = BD. Построим равносторонний треугольник ECD согласно условию EC = ED = 2a и определим M как пересечение окружностей с диаметрами EC и ED.

7) Найдите прямоугольную проекцию точки A на отрезок BC.

8) Найдите x по условию x: a = p: q, где a, p и q - данные отрезки.

9) Найдите x = ab, где a и b - данные отрезки.

Вдохновляясь результатами Маскерони, Якоб Штейнер (1796–1863) предпринял попытку исследования построений, выполнимых с помощью одной только линейки. Конечно, одна только линейка не выводит за

ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДРУГИХ ИНСТРУМЕНТОВ

пределы данного числового поля, и потому она недостаточна для выполнения всех геометрических построений в классическом их понимании. Но тем более замечательны результаты, полученные Штейнером при введенном им ограничении - пользоваться циркулем только один раз. Он доказал, что все построения на плоскости, выполнимые с помощью циркуля и линейки, выполнимы также с помощью одной линейки при условии, что задан единственный неподвижный круг вместе с центром. Эти построения подразумевают применение проективных методов и будут описаны позднее (см. стр. 217 ).

* Без круга, и притом с центром, обойтись нельзя. Например, если дан круг, но не указан его центр, то найти центр с помощью одной линейки невозможно. Мы сейчас докажем это, ссылаясь, однако, на факт, который будет установлен позднее (см. стр. 240 ): существует такое преобразование плоскости самой в себя, что а) заданная окружность остается неподвижной, б) всякая прямая линия переходит в прямую, в) центр неподвижной окружности не остается неподвижным, а смещается. Само существование такого преобразования свидетельствует о невозможности построить центр данной окружности, пользуясь одной линейкой. В самом деле, какова бы ни была процедура построения, она сводится к ряду отдельных этапов, заключающихся в проведении прямых линий и нахождении их пересечений друг с другом или с данной окружностью. Представим себе теперь, что вся фигура в целом - окружность и все прямые, проведенные по линейке при выполнении построения центра - подвергнута преобразованию, существование которого мы здесь допустили. Тогда ясно, что фигура, полученная после преобразования, также удовлетворяла бы всем требованиям построения; но указываемое этой фигурой построение приводило бы к точке, отличной от центра данной окружности. Значит, построение, о котором идет речь, невозможно.

3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклоиды. Изобретение различных механизмов, предназначенных для того, чтобы чертить различные кривые, помимо окружности и прямой линии, чрезвычайно расширяет область фигур, допускающих построение. Например, если имеется инструмент, позволяющий чертить гиперболы xy = k, и другой инструмент, вычерчивающий параболы y = ax2 + bx + c, то любая проблема, приводящая к кубическому уравнению

точнее, корни уравнения (1) являются x-координатами точек пересечения гиперболы и параболы, представляемых уравнениями (2). Таким

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

Рис. 52. Графическое решение кубического уравнения

образом, решения уравнения (1) допускают построение, если разрешается пользоваться инструментами, с помощью которых можно начертить кривые (2).

Уже математикам древности были известны многие интересные кривые, которые могут быть определены и начерчены с помощью простых механических приспособлений. Среди таких «механических» кривых особенно видное место занимают циклоиды. Птолемей (около 200 года до нашей эры), обнаруживая необычайную проницательность, сумел использовать эти кривые для описания планетных движений.

Циклоида самого простого вида представляет собой траекторию движения точки P , фиксированной на окружности диска, катящегося без скольжения по прямой линии. На рис. 53 изображены четыре положения точки P в различные моменты времени. По форме циклоида напоминает ряд арок, опирающихся на горизонтальную прямую.

Разновидности этой кривой получаются, если возьмем точку P или внутри диска (как на спице колеса), или на продолжении радиуса за пределы диска.

ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДРУГИХ ИНСТРУМЕНТОВ

Рис. 53. Циклоида

Рис. 54. Циклоиды общего вида

Эти две кривые показаны на рис. 54.

Дальнейшие разновидности циклоиды возникают, когда наш диск катится не по прямой, а по дуге окружности. Если при этом катящийся диск с радиусом r остается все время касающимся изнутри той большой окружности C радиуса R, по которой он катится, то траектория точки, фиксированной на окружности диска, называется гипоциклоидой.

Когда диск прокатывается по всей окружности C ровно один раз, то точка P возвращается в исходное положение только в том случае, если радиус C является кратным радиуса c. На рис. 55 изображена замкнутая гипоциклоида, соответствующая предположению R = 3r. В более общем

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

случае, если R = m n r, то гипоциклоида замкнется после того, как диск c

прокатится по окружности C ровно n раз, и будет состоять из m арок. Заслуживает особого упоминания случай R = 2r. Любая точка P на окружности диска будет описывать в этом случае один из диаметров большой окружности C (рис. 56). Предоставляем читателю доказать это в качестве задачи.

Еще один тип циклоид получается, когда диск c катится по окружности C, касаясь ее все время извне. Получающиеся при этом кривые носят название эпициклоид.

*4. Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта.

Оставим на время в стороне вопрос о циклоидах (они появятся еще раз в этой книге - довольно неожиданно) и обратимся к иным методам механического воспроизведения кривых линий. Мы займемся сейчас

шарнирными механизмами.

Механизм этого типа представляет собой систему сочлененных между собой твердых стержней, обладающих такой степенью свободы, чтобы каждая его точка была способна описывать определенную кривую. Циркуль также является простейшим шарнирным механизмом, по существу состоящим из одного стержня с закрепленным концом.

Рис. 57. Преобразование прямолинейного движения во вращательное

Шарнирные механизмы издавна находят себе применение как составные части машин. Одним из самых знаменитых (в историческом отношении) примеров является так называемый «параллелограмм Уатта». Это приспособление было изобретено Джемсом Уаттом при решении следующей проблемы: как связать поршень с точкой махового колеса таким образом, чтобы вращение колеса сообщало поршню прямолинейное движение? Решение, данное Уаттом, было лишь приближенным, и, несмотря на усилия многих первоклассных математиков, проблема конструирования механизма, сообщающего точке в точности прямолиней-

ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДРУГИХ ИНСТРУМЕНТОВ

ное движение, долгое время оставалась нерешенной. Было даже сделано предположение, что такой механизм неосуществим: это было как раз тогда, когда всякого рода «доказательства невозможности» привлекли к себе всеобщее внимание. Тем большее изумление было вызвано в кругах математиков, когда французский морской офицер Поселье (в 1864 г.) все же изобрел несложный механизм, действительно разрешающий проблему в положительном смысле. В связи с введением в употребление хорошо действующих смазочных веществ техническая проблема потеряла свое значение для паровых машин.

Рис. 58. Инверсор Поселье, преобразующий вращательное движение в прямолинейное

Назначение механизма Поселье заключается в том, чтобы превращать круговое движение в прямолинейное. В основе этого механизма лежит теория инверсии, изложенная в § 4. Как видно из рис. 58, механизм состоит из семи жестких стержней, два из них - длины t, четыре - длины s и один - произвольной длины. Точки O и R закреплены и расположены таким образом, что OR = P R. Весь аппарат может быть приведен в движение, будучи подчинен указанным условиям. Мы сейчас убедимся, что, когда точка P описывает дугу окружности с центром R и радиусом RP , точка Q описывает прямолинейный отрезок. Обозначая основание перпендикуляра, опущенного из точки S на прямую OP Q, через T , мы замечаем, что

OP · OQ = (OT − P T) · (OT + P T) = OT 2 − P T2 =

= (OT 2 + ST2 ) − (RT2 + ST2 ) = t2 − s2 . (3)

Величина t2 − s2 постоянная; положим t2 − s2 = r2 . Так как OP · OQ =

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

r2 , то точки P и Q взаимно обратные относительно окружности с центром O и радиусом r. В то время как P описывает дугу окружности, проходящей через O, Q описывает кривую, обратную этой дуге. Но кривая, обратная окружности, проходящей через O, есть, как мы видели, не что иное, как прямая линия. Итак, траектория точки Q есть прямая, и инверсор Поселье чертит эту прямую без линейки.

Другой механизм, решающий ту же проблему, есть инверсор Гарта. Он состоит всего лишь из пяти стержней, сочленение которых показано на рис. 59. Здесь AB = CD, BC = AD. Через O, P и Q обозначены точки, соответственно зафиксированные на стержнях AB, AD и CB, притом

таким образом, что OB AO =P AP D =QB CQ =m n . Точки O и S закреплены

на плоскости неподвижно, с соблюдением условия OS = P S. Больше связей нет, и механизм способен двигаться. Очевидно, прямая AC всегда

Рис. 59. Инверсор Гарта

параллельна прямой BD. В таком случае точки O, P и Q лежат на одной прямой, и прямая OP параллельна прямой AC. Проведем перпендикуляры AE и CF к прямой BD. Мы имеем

AC · BD = EF · BD = (ED + EB) · (ED − EB) = ED2 − EB2 .

Но 2 ED

AE2 = AD2

EB2 + AE2 = AB2

Следовательно,

(m + n)2

(m + n)2

Последняя полученная величина не изменяется при движении механизма. Поэтому точки P и Q являются взаимно обратными относительно

Греческие геометры гордились собой из-за своей логической чистоты; тем не менее, что касается физического пространства, они руководствовались интуицией. Одной из сторон греческой геометрии, на которую особенно влияли физические соображения, была теория построений. Многое из элементарной геометрии прямых линий и кругов можно рассматривать как теорию построений с помощью линейки и циркуля. Само название предмета, линии и круги, отражает инструменты, которые использовались для их проведения. И многие из элементарных проблем геометрии, например, деление пополам отрезка прямой или угла,

построение перпендикуляра или проведение круга через три заданные точки, можно решить построениями с помощью линейки и циркуля.

Когда введены координаты, нетрудно показать, что точки, допускающие построение из точек имеют координаты во множестве чисел, созданном из координат посредством операций и [см. Муаз (1963) или упражнения к разделу 6.3]. Квадратные корни, конечно, появляются вследствие теоремы Пифагора: если построены точки и тогда построено расстояние между ними (раздел 1.6 и рисунок 2.4). Обратно, возможно построение для любой заданной длины I (упражнение 2.3.2).

Рисунок 2.4: Построение расстояния

Если взглянуть с этой точки зрения, то построения с помощью линейки и циркуля выглядят весьма специальными и, маловероятно, что дадут, такие числа так, например, Однако греки очень упорно пытались решить именно эту задачу, которая была известна как удвоение куба (так называемая потому, что для того, чтобы удвоить объем куба, нужно было умножить сторону на Другими печально известными задачами были трисекция угла и квадратура круга. Последняя задача заключалась в построении квадрата, равного по площади заданному кругу, или в построении числа которое равновелико тому же. По-видимому, они никогда не отказывались от этих целей, хотя признавали возможность отрицательного решения и допускали решения посредством менее элементарных средств. В следующих разделах мы увидим некоторые из них.

Невозможность решения этих задач построениями с помощью линейки и циркуля оставалась недоказанной до девятнадцатого столетия. Что касается удвоения куба и трисекции угла, то невозможность показана Вантцелем (1837). Честь решения этих задач, над которыми бились лучшие математики в течение 2000 лет, редко приписывают Вантцелю, возможно, потому, что его методы вытеснила более мощная теория Галуа.

Невозможность квадратуры круга доказана Линдеманом (1882), очень строгим способом, не только неопределимо рациональными операциями и квадратными корнями; оно также трансцендентно, то есть не является корнем какого-либо полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами. Как и работа Вантцеля, это был редкий пример значительного результата, доказанного незначительным математиком. В случае Линдемана, объяснение, возможно, заключается

В том, что уже был сделан важный шаг, когда Эрмит (1873) доказал трансцендентность Доступные доказательства обоих этих результатов можно найти у Клейна (1924). Последующая карьера Линдемана была математически непримечательной, даже смущающей. Отвечая скептикам, которые полагали, что его успех с был счастливой случайностью, он нацелился на самую известную нерешенную задачу в математике «последнюю теорему Ферма» (о возникновении этой задачи см. главу 11). Его усилия кончились неудачей в ряде неубедительных статей, каждая из которых исправляла ошибку в предыдущей. Фрич (1984) написал интересную биографическую статью о Линдемане.

Если вполне естественно, что с допущением большего разнообразия инструментов оказывается возможным решать более обширное множество задач на построение, то можно было бы предвидеть, что, напротив, при ограничениях, налагаемых на инструменты, класс разрешимых задач будет суживаться. Тем более замечательным нужно считать открытие, сделанное итальянцем Маскерони (1750-1800): все геометрические построения, выполнимые с помощью циркуля и линейки, могут быть выполнены с помощью одного только циркуля. Следует, конечно, оговорить, что провести на самом деле прямую линию через две данные точки без линейки невозможно, так что это основное построение не покрывается теорией Маскерони. Вместо того приходится считать, что прямая задана, если заданы две ее точки. Но с помощью одного лишь циркуля удается найти точку пересечения двух прямых, заданных таким образом, или точку пересечения прямой с окружностью.

Вероятно, простейшим примером построения Маскерони является удвоение данного отрезка Решение было уже дано на стр. 185. Далее, на стр. 186 мы научились делить данный отрезок пополам. Посмотрим теперь, как разделить пополам дугу окружности с центром О. Вот описание этого построения. Радиусом проводим две дуги с центрами От точки О откладываем на этих дугах две такие дуги и что Затем находим точку пересечения дуги с центром Р и радиусом и дуги с центром и радиусом Наконец, взяв в качестве радиуса отрезок опишем дугу с центром Р или до пересечения с дугой точка пересечения и является искомой средней точкой дуги Доказательство предоставляем читателю в качестве упражнения.

Рис. 48. Пересечение окружности и прямой, не проходящей через центр

Было бы невозможно доказать основное утверждение Маскерони, указывая для каждого построения, выполнимого с помощью циркуля и линейки, как его можно выполнить с помощью одного циркуля: ведь возможных построений бесчисленное множество. Но мы достигнем той же цели, если установим, что каждое из следующих основных построений выполнимо с помощью одного циркуля:

1. Провести окружность, если заданы центр и радиус.

2. Найти точки пересечения двух окружностей.

3. Найти точки пересечения прямой и окружности.

4. Найти точку пересечения двух прямых.

Любое геометрическое построение (в обычном смысле, с допущением циркуля и линейки) составляется из выполнения конечной последовательности этих элементарных построений. Что первые два из них выполнимы с помощью одного циркуля, ясно непосредственно. Более трудные построения 3 и 4 выполняются с использованием свойств инверсии, рассмотренных в предыдущем пункте.

Обратимся к построению 3: найдем точки пересечения данной окружности С с прямой, проходящей через данные точки Проведем дуги с центрами и радиусами, соответственно равными и кроме точки О, они пересекутся в точке Р. Затем построим точку обратную точке Р относительно окружности С (см. построение, описанное на стр. 186). Наконец, проведем окружность с центром и радиусом (она непременно пересечется с С): его точки пересечения с окружностью С и будут искомыми. Для доказательства достаточно установить, что каждая из точек находится на одинаковых расстояниях от (что касается точек то аналогичное их свойство сразу вытекает из построения). Действительно, Достаточно сослаться на то обстоятельство, что точка, обратная точке отстоит от точек на расстояние, равное радиусу окружности С (см. стр. 184). Стоит отметить, что окружность, проходящая через точки является обратной прямой в инверсии относительно круга С, так как эта окружность и прямая пересекаются

Рис. 49. Пересечение окружности и прямой, проходящей через центр

с С в одних и тех же точках. (При инверсии точки основной окружности остаются неподвижными.)

Указанное построение невыполнимо только в том случае, если прямая проходит через центр С. Но тогда точки пересечения могут быть найдены посредством построения, описанного на стр. 188, как получающихся, когда мы проводим произвольную окружность с центром В, пересекающуюся с С в точках Метод проведения окружности, обратной прямой, соединяющей две данные точки, немедленно дает и построение, решающее задачу 4. Пусть прямые даны точками (рис. 50).

Рис. 50. Пересечение двух прямых

Проведем произвольную окружность С и с помощью указанного выше метода построим окружности, обратные прямым и Эти окружности пересекаются в точке О и еще в одной точке Точка X, обратная точке и есть искомая точка пересечения: как ее построить - уже было разъяснено выше. Что X есть искомая точка, это ясно из того факта, что есть единственная точка, обратная точке, одновременно принадлежащей обеим прямым и следовательно, точка X, обратная должна лежать одновременно и на и на

Этими двумя построениями заканчивается доказательство эквивалентности между построениями Маскерони, при которых разрешается пользоваться только циркулем, и обыкновенными геометрическими построениями с циркулем и линейкой.

Мы не заботились об изяществе решения отдельных проблем, нами здесь рассмотренных, так как нашей целью было выяснить внутренний смысл построений Маскерони. Но в качестве примера мы еще укажем построение правильного пятиугольника; точнее говоря, речь идет о нахождении каких-то пяти точек на окружности, которые могут служить вершинами правильного вписанного пятиугольника.

Пусть А - произвольная точка на окружности К. Так как сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу круга, то не представит труда отложить на К такие точки что

Известная с античных времён.

В задачах на построение возможны следующие операции:

  • Выбрать произвольную точку на плоскости, точку на одной из построенных линий или точку пересечения двух построенных линий.
  • С помощью циркуля провести окружность с центром в построенной точке с радиусом, равным расстоянию между двух построенных точек.
  • С помощью линейки провести прямую, проходящую через две построенные точки.

Простой пример

Задача. С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке:

  • Циркулем проводим окружность с центром в точке A радиусом AB .
  • Проводим окружность с центром в точке B радиусом AB .
  • Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей.
  • Линейкой проводим отрезок, соединяющий точки P и Q .
  • Находим точку пересечения AB и PQ . Это - искомая середина отрезка AB .

Правильные многоугольники

Античным геометрам были известны способы построения правильных для n=2^k\,\! , 3\cdot 2^k , 5\cdot 2^k и 3\cdot5\cdot2^k .

Неразрешимые задачи

Следующие три задачи на построение были поставлены ещё в античности:

  • - разбить произвольный угол на три равные части.
  • - построить отрезок, являющийся ребром куба в два раза большего объёма, чем куб с данным ребром.
  • - построить квадрат, равный по площади данному кругу.

Построения одним циркулем и одной линейкой

По теореме Мора-Маскерони (Mohr–Mascheroni theorem) с помощью одного циркуля можно построить любую фигуру, которую можно построить циркулем и линейкой. При этом прямая считается построенной, если на ней заданы две точки.

Легко заметить, что с помощью одной линейки можно проводить только проективно-инвариантные построения (см., например, в теории поверхностей ).

В частности, невозможно даже разбить отрезок на две равные части. Но при наличии на плоскости заранее проведённой окружности с отмеченным центром с помощью линейки можно провести те же построения, что и циркулем и линейкой (теорема Понселе-Штейнера (Poncelet-Steiner theorem), .

См.также

  • - программа, позволяющая делать построения с помощью циркуля и линейки.

Литература


I. Введение.

II. Главная часть:

    Построение отрезка, равного произведению двух других с помощью циркуля и линейки:

    1. первый способ построения;

      второй способ построения;

      третий способ построения,

d) четвёртый способ построения.

2) Построение отрезка, равного отношению двух других с помощью циркуля и линейки:

      первый способ построения;

      второй способ построения.

Заключение.

Приложение.

Введение

Геометрические построения, или теория геометрических построений - раздел геометрии, где изучают вопросы и методы построения геометрических фигур, используя те или иные элементы построения. Геометрические построения изучаются как в геометрии Евклида, так и в других геометриях, как на плоскости, так и в пространстве. Классическими инструментами построения являются циркуль и линейка (односторонняя математическая), однако, существуют построения другими инструментами: только одним циркулем, только одной линейкой, если на плоскости начерчена окружность и её центр, только одной линейкой с параллельными краями и.т.д.

Все задачи на построение опираются на постулаты построения, то есть на простейшие элементарные задачи на построение, и задача считается решённой, если она сведена к конечному числу этих простейших задач-постулатов.

Естественно, каждый инструмент имеет свою конструктивную силу - свой набор постулатов. Так, известно, что разделить отрезок, пользуясь только одной линейкой, на две равные части нельзя, а пользуясь циркулем, можно.

Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в древней Греции. Одна из труднейших задач на построение, которую уже тогда умели выполнить, - построение окружности, касающейся трёх данных окружностей.

В школе изучают ряд простейших построений циркулем и линейкой (односторонней без делений): построение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной или параллельной данной прямой; деление пополам заданного угла, деление отрезка на несколько равных частей, используя теорему Фалеса (по сути дела - деление отрезка на натуральное число); построение отрезка большего данного в целое число раз (по сути -умножение отрезка на натуральное число). Однако, нами нигде не встречалась задача, где надо было бы с помощью циркуля и линейки умножить отрезок на отрезок, то есть построить отрезок, равный произведению двух данных отрезков, или деление отрезка на отрезок, то есть построить отрезок, равный отношению двух других отрезков. Нам показалась данная проблема очень интересной, и мы решили её исследовать, попытаться найти решение и возможность применения найденного метода решения к решению других задач, например, в математике и физике.

При решении задач на построение традиционная методика рекомендует нам четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Однако, указанная схема решения задач на построение считается весьма академичной, и для её осуществления требуется много времени, поэтому часто отдельные этапы традиционной схемы решения задачи опускаются, например, этапы доказательства, исследования. В своей работе по возможности мы использовали все четыре этапа, да и то только там, где была в этом необходимость и целесообразность.

И последнее: найденный нами метод построения вышеназванных отрезков предполагает использование, помимо циркуля и линейки, произвольно выбранного единичного отрезка. Введение единичного отрезка диктуется ещё и тем, что он необходим хотя бы для того, чтобы подтвердить справедливость найденного нами метода нахождения отрезка на конкретных частных примерах.

ОБЩАЯ ПРОБЛЕМА І

С помощью циркуля и линейки построить отрезок, равный произведению двух других отрезков.

Примечание:

предполагается:

    Линейка - односторонняя, без делений.

    Задан отрезок единичной длины.

Исследование.

1.Рассмотрим прямые y=2x-2 2 и y=3x-3 2 и попробуем найти координаты точки пересечения этих прямых геометрическим и аналитическим методами:

а
) геометрический метод (Рис.1 ) показал, что координаты точки А пересечения этих прямых: «5»-абсцисса, «6»- ордината, т.е. АЕ=5, АД=6.

б) аналитический метод данный результат подтверждает, т.е. А (5;6) - точка пересечения прямых.

Действительно, решив систему уравнений

y=6 А(5;6)- точка пересечения прямых.

2.Рассмотрим отрезок: ОВ=2, ОС=3, АД=6, АЕ=5.

Можно предположить, что АД=ОВ×ОС, т.к. 6=2×3; АЕ=ОВ+ОС, т.к. 5=2+3 ,где

2=ОВ-угловой коэффициент уравнения y=2x-2 2 , 3=ОС - угловой коэффициент уравнения y=3x-3 2 , АД=у А, ОД=х А - координаты точки А пересечения наших прямых.

Наше предположение проверим на общем примере аналитическим методом, т.е. на уравнениях прямых y=mx-m 2 и y=nx-n 2 (где m≠n) проверим, что точка пересечения прямых имеет координаты:

y=nx-n 2 nx-n 2 =mx-m 2 x=(m 2 -n 2)÷(m-n)=m+n и y=mx-m 2 =m(m+n)-m 2 =mn

координаты точки А пересечения прямых, где m и n – угловые коэффициенты этих прямых, ч.т.д.

3. Осталось найти метод построения отрезка. АД=ОВ×ОС=m∙n=y А - ординаты точки А пересечения прямых У=mx-m 2 и У=nx-n 2 , где m≠n и m=OB, n=OC- отрезки, отложенные на оси ох. А для этого мы должны найти метод построения прямых У=mx-m 2 и У=nx-n 2 . из рассуждений видно, что эти прямые должны пройти через точки В и С отрезков OB=m и OC=n, которые принадлежат оси ох.

Замечание 1. Вышеназванные обозначения отрезков соответствуют рис.1 «Приложения»

Первый способ построения отрезка AD=mn, где m>1ед., n>1ед., m≠n.

единичный отрезок

произвольный отрезок, m>1eд., n>1eд.

n произвольный отрезок, где m≠n.

Построение (Рис.2)

    Проведём прямую ОХ

    На ОХ отложим ОА 1 = m

    На ОХ отложим А 1 С 1 =1ед

    Построим С 1 В 1 =m, где С 1 В 1 ┴ ОХ

    Проведём прямую А 1 В 1 , уравнение которой y=mx-m 2 в координатных осях ХОУ (масштаб на осях одинаковый).

Примечание:


Рис.2

Замечание 1.

Действительно, тангенс угла наклона этой прямой tgά 1 = С 1 В 1 /А 1 С 1 =m/1ед=m, которая проходит через точку А 1 отрезка ОА 1 =m.

Анологично строим прямую, уравнение которой У=nx-n 2 .

6.На оси ОХ отложим ОА 2 =n (точка А 2 случайно совпала с точкой С1).

7.На оси ОХ отложим А 2 С 2 =1ед.

8.Строим В 2 С 2 =n, где В 2 С 2 ┴ ОХ.

9.Проведём прямую В 2 А 2 , уравнение которой У=nx-n 2 .

Замечание 2. Действительно, тангенс наклона этой прямой tg ά 2 =C 2 B 2 /A 2 C 2 =n/1ед=n, которая проходит через т. А 2 отрезка ОА 2 =n.

10. Получили т.А (m+n; mn) – точку пересечения прямых У=mx-m 2 и У=nx-n 2

11. Проведем АД, перпендикулярную ох, где Д принадлежит оси ох.

12. Отрезок АД=mn (ордината т. А), т.е. искомый отрезок.

Замечание 3. а) действительно, если в нашем примере, n=4ед., m=3 ед., то должно быть АД=mn=3ед.∙4ед.=12ед. У нас так и получилось: АД=12ед.; б) прямая В 1 В 2 в этом построении не использовалась. В В – тоже.

Существует ещё, по крайней мере, три разных способа построения отрезка АД=mn.

Второй способ построения отрезка АД= mn , где m >1ед, n >1ед, m и n –любые.

Анализ

Анализ ранее построенного чертежа (рис.2), где с помощью найденного способа построения прямых У=mx-m 2 и У=nx-n 2 нашли т.А (m+n; mn) (это первый способ), подсказывает, что т.А(m+n; mn) можно найти построением любой из этих прямых (У=mx-m 2 или У=nx-n 2) и перпендикуляра АД, где АД – перпендикуляр к ОХ, АД=mn, Д принадлежит оси ОХ. Тогда искомая точка А (m+n; mn) является точкой пересечения любой из этих прямых и перпендикуляра АД. Достаточно найти углы наклона этих прямых, тангенсы которых, согласно угловым коэффициентам, равны m и n, т.е. tg ά 1= m и tg ά 2 =n. Учитывая, что tg ά 1 =m/1ед=m и tg ά 2 =n/1ед=n, где 1ед-единичный отрезок, можно легко построить прямые, уравнения которых У=mx-m 2 и У=nx-n 2 .

единичный отрезок

n n>1ед., m и n-любые числа.

П

остроение (Рис.3)

Рис.3

1.Проведём прямую ОХ.

2.На оси ОХ откладываем отрезок ОА 1 =m.

3.На оси ОХ отложим отрезок А 1 Д=n.

4.На оси ОХ отложим отрезок А 1 С 1 =1ед.

5.Строим С 1 В 1 =m, где С 1 В 1 ┴ ОХ.

6.Проведём прямую А1В1, уравнение которой У=mx-m2, в координатных осях ХОУ (масштаб на осях одинаковый).

7.Востанавливаем перпендикуляр к ОХ в точке D.

8.Получаем точку А (m+n; mn) - точку пересечения прямой У=mx-m2 и перпендикуляра AD

9.Отрезок AD=mn, то есть искомый отрезок.

Вывод: Этот второй способ универсальнее первого способа, так как позволяет найти точу А(m+n;mn)и тогда, когда m=n>1ед., тогда координаты этой точки А(2m;m 2) и AD=m 2 .

Другими словами этот метод позволяет найти отрезок, равный квадрату данного, длина которого больше 1ед.

Замечание: Действительно, если в нашем примере m=3ед., n=5ед., то должно быть AD=mn=3ед.×5ед.=15ед. У нас так и получилось: AD=15ед.

Третий способ построения отрезка AD = mn , где m >1ед, n >1ед и m ≠ n .

Используя рисунок №2, проведём штриховой линией прямую В 1 В 2 до пересечения с ОХ в точке Е € ОХ, и прямую В 1 В ┴ В 2 С 2 , тогда

В 1 В=С 1 С 2 =ОС 2 -ОС 1 =(n+1ед.)-(m+1ед)=n-m, а В 2 В=В 2 С 2 -В 1 С 1 =m-n => В 1 В=В 2 В=>∆В 1 ВВ 2 - равнобедренный, прямоугольный>∆ЕС 1 В 1 - равнобедренный, прямоугольный => ά=45º

Т.к. ОС 1 =m+1ед., а ЕС 1 =В 1 С 1 =m, то ОЕ=ОС 1 -ЕС 1 =m+1ед.-m=1ед.

Из рассуждений следует, что точки В 1 и В 2 можно найти по-другому, т.к. они являются точками пересечения прямой ЕВ 1 , проведённой под углом ά=45º к оси ОХ и перпендикуляров к ОХ: В 1 С 1 и В 2 С 2 , а ОЕ=1ед.Дальше, используя уже предыдущие методы будем иметь следующий способ построения.

Единичный отрезок.

n n>1ед., и m≠n.

Построение (Рис.4)

1.Проведём прямую ОХ.

5.Построим
ά=С 1 ЕВ 1 =45º, где В 1 - точка пересечения перпендикуляра С 1 В 1 со стороной ά=45º.

7.Отложим ОА 2 =n, где А 2 € ОХ.

8.Отложим А 2 С 2 =1ед., где С 2 € ОХ.

9.Восстановим перпендикуляр С 2 В 2 к оси ОХ в точке С 2 , где В 2 - точка пересечения перпендикуляра с прямой ЕВ 1 .

10.Проводим прямую А 2 В 2 , уравнение которой У=nx-n 2 , до пересечения с прямой А 1 В 1 в точке А.

11.Опускаем на ОХ из точки А перпендикуляр и получаем AD , равный mn, где D € ОХ, так как в координатных плоскостях осях ХОУ координаты точки А(m+n;mn).


Рис.4

Замечание: Недостаток данного способа такой же, как у первого способа построения, где построение возможно только при условии m≠n.

Четвёртый способ построения отрезка AD = mn , где m и n - любые, большие единичного отрезка.

Единичный отрезок.

n n>1ед., m и n- любые.

Построение (Рис.5)


Рис.5

1.Проведём прямую ОХ.

2.Отложим ОЕ=1ед., где Е € ОХ.

3.Отлтжим ЕС 1 =m, где С 1 € ОХ.

4.Восстановим перпендикуляр в точке С 1 к оси ОХ.

5.Построим ά=С 1 ЕВ 1 =45º, где В 1 - точка пересечения перпендикуляра С 1 В 1 со стороной ά=45º.

6.Отложив ОА 1 =m, проводим прямую А 1 В 1 , уравнение которой У=mx-m 2 , А € ОХ.

7.Отложим А 1 D=n, где D € OX.

8.Восстановим перпендикуляр в точке D до пересечения его в точке А с прямой А 1 В 1 , уравнение которой У=mx-m 2 .

9.Отрезок перпендикуляра AD = произведению отрезков m и n, то есть AD=mn, так как А (m+n; mn).

Замечание: Этот способ выгодно отличается от первого и третьего способов, где m≠n, так как имеем дело с любыми отрезками m и n, единичный отрезок может быть меньше только одного из них, участвующего в начале построения (у нас m>1ед.).

Общая проблема ІІ

С помощью циркуля и линейки построить отрезок, равный отношению двух других отрезков.

Примечание:

единичный отрезок меньше отрезка делителя.

Первый способ построения отрезка n = k / m , где m >1ед.

Единичный отрезок.

Построение (Рис.6)

2.На ОУ отложим ОМ=k.

3. На ОХ отложим ОА 1 = m.

4.На ОХ отложим А 1 С 1 =1ед.

5.Построим С 1 В 1 =m, где С 1 В 1 ┴ ОХ.

6. Проведём прямую А 1 В 1 , уравнение которой y=mx-m 2 в координатных осях ХОУ (масштаб на осях одинаковый, равный 1ед.).

7.Восстановим перпендикуляр МА в точке М к оси ОУ, где А- точка пересечения МА с прямой А 1 В 1 (т.е. А € А 1 В 1).

8.Опустим перпендикуляр из точки А на ось ОХ до пересечения его с осью ОХ в точке D. Отрезок AD=ОМ=k=mn.

9.Отрезок А 1 D= n - искомый отрезок, равный n=k/m.

Рис.6

Доказательство:

1.Уравнение прямой А 1 В 1 действительно У=mx-m 2 , при У=0 имеем 0=mx-m 2 => x=m=OA 1, т а угловой коэффициент - tg

2.В ∆АDA 1 tg 1 D=AD/A 1 D=B 1 C 1 /A 1 C 1 =>A 1 D=AD×A 1 C 1 /B 1 C 1 =k×1ед./m=mn/m=n, т.е. А 1 D=n=k/m - искомый отрезок.

Замечание. Действительно, если в нашем примере m=3ед., k=15ед., то должно быть A 1 D=n=k/m=15ед./3ед.=5ед. У нас так и получилось.

Второй способ построения отрезка n = k / m , где m >1ед.

Единичный отрезок.



Рис.7

1.Строим координатные оси ХОУ.

2.На ОУ отложим ОМ=k.

3.Отложим ОЕ=1ед., где Е € ОХ.

4.Отложим ЕС 1 =m, где С 1 € ОХ.

5.Восстановим перпендикуляр в точке С 1 к оси ОХ.

6.Строим С 1 ЕВ 1 =45º, где В 1 - точка пересечения перпендикуляра С 1 В 1 со стороной угла С 1 ЕВ 1 = 45º.

7. На ОХ отложим ОА 1 = m.

8. Проведём прямую А 1 В 1 , уравнение которой y=mx-m 2 в координатных осях ХОУ (масштаб на осях одинаковый, равный 1ед.).

9.Восстановим перпендикуляр МА в точке М к оси ОУ, где А - точка пересечения МА с прямой А 1 В 1 (т.е. А € А 1 В 1).

10.Опустим перпендикуляр из точки А на ось ОХ до пересечения его с осью ОХ в точке D. Отрезок AD=ОМ=k=mn.

11.Отрезок А 1 D=n - искомый отрезок, равный n=k/m.

Доказательство:

1.∆В 1 С 1 Е - прямоугольный и равнобедренный, так как С 1 ЕВ 1 =45º =>В 1 С 1 =ЕС 1 =m.

2.А 1 С 1 =ОС 1 - ОА 1 =(ОЕ+ЕС1) - ОА 1 =1ед+m-m=1ед.

3.Уравнение прямой А 1 В 1 действительно У=mx-m 2 , при У=0 имеем 0=mx-m 2 => x=m=OA 1, а угловой коэффициент - tg

4.В ∆АDA 1 tg 1 D=AD/A 1 D=B 1 C 1 /A 1 C 1 => A 1 D=AD×A 1 C 1 /B 1 C 1 =k ×1ед./m=mn/m=n, т.е. А 1 D=n=k/m - искомый отрезок.

Заключение

В своей работе мы нашли и исследовали различные методы построения с помощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению или отношению двух других отрезков, предварительно дав своё определение этим действиям с отрезками, так как ни в одной специальной литературе мы не смогли найти не только определение умножения и деления отрезков, но даже упоминания об этих действиях над отрезками.

Здесь нами было использовано практически все четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование.

В заключение мы бы хотели отметить возможность применения найденных методов построения отрезков в отдельных разделах физики и математики.

1. Если продлить прямые y=mx-m 2 и y=nx-n 2 (n>m>0) до пересечения с осью ОУ, то можно получить отрезки, равные m 2 , n 2 , n 2 - m 2 (Рис.8) , где ОК=m 2 , ОМ= n 2 , КМ= n 2 - m 2 .

Р
ис.8

Доказательство:

Если х=0, то y=0-m 2 =>ОК=m 2 .

Аналогично доказывается, что ОМ= n 2 =>КМ=ОМ-ОК= n 2 - m 2 .

2. Так как произведение двух отрезков есть площадь прямоугольника со сторонами, равными этим отрезкам, то, найдя отрезок, равный произведению двух других, тем самым мы представляем площадь прямоугольника в виде отрезка, длина которого численно равна этой площади.

3. В механике, термодинамике есть физические величины, например, работа (А=FS,A=PV), численно равные площадям прямоугольников, построенных в соответствующих координатных плоскостях, поэтому в задачах, где требуется, например, сравнить работы по площадям прямоугольников, очень просто это сделать, если эти площади представить в виде отрезков, численно равных площадям прямоугольников. А отрезки легко сравнить между собой.

4. Рассмотренный метод построения позволяет строить и другие отрезки, например, используя систему уравнений y=mx-m 3 и y=nx-n 3 , можно построить отрезки, имея данные m и n такие, как m 2 +mn+n 2 и mn(m+n), так как точка А пересечения прямых, заданных данной системой уравнений, имеет координаты (m 2 +mn+n 2 ; mn(m+n), а также можно построить отрезки n 3 , m 3 , и разность n 3 - m 3 , получаемые на ОУ в отрицательной области при Х=0.

Произведения . ... помощи циркуля и линейки . Алгоритм деления отрезка АВ пополам: 1) поставить ножку циркуля в точку А; 2) установить раствор циркуля равным длине отрезка ...

  • Биография Пифагора

    Биография >> Математика

    ... построением правильных геометрических фигур с помощью циркуля и линейки . ... помощи циркуля и линейки . Со времени возникновения задачи прошло более двух ... равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем:(b/4+p)=(b/4)+(b/4-p)или ...

    • Похожие статьи:
    error: